1 + 2 + 3 + 4 + …维基百科,自由的 encyclopedia 无穷级数中1 + 2 + 3 + 4 + …为所有自然数的和,是一个发散级数,其数学式也写作 ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n} 横轴为1, 2, 3, 4, ⋯,纵轴为相应于横轴的级数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。图中曲线为平滑后之渐近线,其与纵轴相交的截距值为−1⁄12 此级数前 n 项的部分和即是三角形数: ∑ n = 1 n n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}} 尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透过黎曼ζ函数正规化(英语:Zeta function regularization)与拉马努金求和等方法可产生一有限值 − 1 12 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}} ,表示为: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}} 此结果在复分析、量子力学及弦理论等领域中有所应用。
无穷级数中1 + 2 + 3 + 4 + …为所有自然数的和,是一个发散级数,其数学式也写作 ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n} 横轴为1, 2, 3, 4, ⋯,纵轴为相应于横轴的级数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。图中曲线为平滑后之渐近线,其与纵轴相交的截距值为−1⁄12 此级数前 n 项的部分和即是三角形数: ∑ n = 1 n n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}} 尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透过黎曼ζ函数正规化(英语:Zeta function regularization)与拉马努金求和等方法可产生一有限值 − 1 12 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}} ,表示为: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}} 此结果在复分析、量子力学及弦理论等领域中有所应用。