三角不等式

三角不等式是数学上的一个不等式，表示从A到B再到C的距离永不少于从A到C的距离；亦可以说是两项独立物件的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外，还适用于其他数学范畴及日常生活中。

在三角形中，两条边的长度之和总是大于第三边。

欧式几何

任意三角形${\displaystyle \Delta ABC}$都有：

${\displaystyle |{\overline {AB}}-{\overline {BC}}|<{\overline {AC}}<{\overline {AB}}+{\overline {BC}}}$

证明

三角形${\displaystyle \Delta ABC}$ 这个证明原记载于《几何原本》第一卷命题20。[1] 如右图，取三角形${\displaystyle \Delta ABC}$。朝点${\displaystyle B}$ 方向延长${\displaystyle {\overline {AB}}}$至点D，并使${\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}}$，联结${\displaystyle {\overline {DC}}}$。 因为三角形 ${\displaystyle \Delta BDC}$ 为等腰三角形，根据第五公设可得${\displaystyle \angle BDC=\angle BCD}$。令： ${\displaystyle \alpha =\angle BDC=\angle BCD}$ ${\displaystyle \beta =\angle ACD}$ 显然${\displaystyle \beta >\alpha }$。由于角${\displaystyle \beta }$对应边${\displaystyle {\overline {AD}}}$，角${\displaystyle \alpha }$对应边${\displaystyle {\overline {AC}}}$，根据命题19（大角对大边[2]），因此${\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}}$。 又由于${\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}}$，所以： ${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}}$ 同样的，如果朝点${\displaystyle A}$方向延长${\displaystyle {\overline {AB}}}$，如法炮制的话，可以得到： ${\displaystyle {\overline {BA}}+{\overline {AC}}>{\overline {BC}}}$ (1) 朝点${\displaystyle C}$方向延长${\displaystyle {\overline {BC}}}$，如法炮制的话，可以得到： ${\displaystyle {\overline {BC}}+{\overline {CA}}>{\overline {BA}}={\overline {AB}}}$ (2) (1)两边各减去${\displaystyle {\overline {AB}}}$有： ${\displaystyle {\overline {AC}}>{\overline {BC}}-{\overline {AB}}}$ (2)两边各减去${\displaystyle {\overline {BC}}}$有： ${\displaystyle {\overline {CA}}>{\overline {AB}}-{\overline {BC}}}$ 也就是 ${\displaystyle {\overline {AC}}>|{\overline {AB}}-{\overline {BC}}|}$ 至此本定理得证。${\displaystyle \Box }$

至于：

${\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}}$

除非三点共线否则在欧氏几何中不可能，要有这种“三角形”只有在打破第五公设的非欧几里得几何里才会出现，如球面几何学的球面三角形。或闵考斯基时空：

${\displaystyle \|x+y\|\geq \|x\|+\|y\|}$     对所有 ${\displaystyle x,y\in V}$，使得${\displaystyle \|x\|\geq 0}$, ${\displaystyle \|y\|\geq 0}$ 和 ${\displaystyle t_{x}t_{y}\geq 0}$

这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。

向量空间

一种推广三角不等式的方法是在“可相加和伸缩的空间”（向量空间）里定义“长度”(范数)，严格来说就是所谓的赋范向量空间。但三角不等式在赋范向量空间是个不能证明的前提，而且不一定具有几何中：

${\displaystyle \left|{\overline {AB}}-{\overline {BC}}\right|\leq {\overline {AB}}+{\overline {BC}}}$

的直观性质，要确保这种直观性质的话，需要退一步在向量空间假设内积的构造，换句话说有以下定理:

三角不等式 — 
${\displaystyle V}$ 是个复内积空间，则对所有的${\displaystyle v,\,w\in V}$ 有：

${\displaystyle \left|\|v\|-\|w\|\right|\leq \|v\oplus w\|\leq \|v\|+\|w\|}$

（证明请见内积空间#三角不等式）

实数与复数

事实上，实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$跟复数系${\displaystyle \mathbb {C} }$都是以自己为域（纯量母空间）的向量空间，它们的向量加法就是普通的加法；纯量积就是普通的乘法；至于内积的话，任二复数${\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} }$的内积可以定义成：

${\displaystyle \langle z_{1},\,z_{2}\rangle :=z_{1}{\overline {z_{2}}}}$

这样范数就会等于绝对值：

${\displaystyle \|z_{1}\|^{2}:=\langle z_{1},\,z_{1}\rangle =z_{1}{\overline {z_{1}}}=|z_{1}|^{2}}$

而任二实数${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} }$的内积就只是普通的乘法：

${\displaystyle \langle a,\,b\rangle :=a{\overline {b}}=ab}$

${\displaystyle \|a\|^{2}=a{\overline {a}}=|a|^{2}}$

这样两系内的三角不等式都只是内积空间的特例：

${\displaystyle \left||z_{1}|-|z_{2}|\right|\leq |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$ (${\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} }$)

${\displaystyle \left||a|-|b|\right|\leq |a+b|\leq |a|+|b|}$ (${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} }$)

其实上面两式也可以用更基础，只牵涉到实数复数不等式的方式证明，以下以实数为例：

证明
对任意 ${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle ab\in \mathbb {R} }$，所以根据绝对值的定义有 ${\displaystyle ab\leq |ab|}$ 再考虑到实数的平方必然非负，就有： ${\displaystyle |a+b|^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}={\left(|a|+|b|\right)}^{2}}$ ${\displaystyle {(|a|-|b|)}^{2}=a^{2}-2|a||b|+b^{2}\leq a^{2}+2ab+b^{2}=|a+b|^{2}}$ 故实数三角不等式得证。${\displaystyle \Box }$

坐标空间

${\displaystyle n}$维（实数）坐标空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$本身就是以实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$为域（纯量母空间）的向量空间，只要对任意${\displaystyle a=(a_{1},\,\dots ,\,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$和${\displaystyle b=(b_{1},\,\dots ,\,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$和纯量 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$作如下定义：

(1)向量加法： ${\displaystyle a\oplus b:=(a_{1}+b_{1},\,\dots ,\,a_{n}+b_{n})}$

(2)纯量乘法：${\displaystyle \lambda \cdot a:=(\lambda a_{1},\,\dots ,\,\lambda a_{n})}$

它也能成为实系数内积空间，只要作如下定义：

(3) 内积： ${\displaystyle \langle a,\,b\rangle :=a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}}$

也就是普通的点积。这样的话范数正好就等于直观上的长度：

${\displaystyle \|a\|^{2}:=\langle a,\,a\rangle =a_{1}^{2}+\dots +a_{n}^{2}}$

这样实数座标空间的三角不等式就是内积空间不等式的特例了：

${\displaystyle \left|\|a\|-\|b\|\right|\leq \|a\oplus b\|\leq \|a\|+\|b\|}$ (${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} ^{n}}$)

如果把把欧几里得平面和${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$做一对一对应的话，欧式几何一节的三角不等式就可以视为上式的特例；但也可以使用${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$空间座标的运算性质来证明：

对${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$坐标系中任三点${\displaystyle A,\,B,\,C}$有：

${\displaystyle \left|\,\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|-\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\,\right|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$

证明

首先注意到： ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}}$ 那根据点积的性质有： ${\displaystyle {\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}^{2}={\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|}^{2}+{\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}^{2}+2\left({\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}\right)}$ 另一方面： ${\displaystyle {\left(\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\right)}^{2}={\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|}^{2}+{\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}^{2}+2\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$ 考虑到： ${\displaystyle -\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\leq {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$ 所以： ${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$ 同样的对 ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ 和 ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 如法炮制就有： ${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {CB}}\right\|}$ ${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {BA}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}$ 换句话说： ${\displaystyle \left|\,\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|-\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\,\right|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}$ 至此三角不等式成立。${\displaystyle \Box }$

参见

• 次可加性