中心化矩阵

数学和多元变量统计中，中心化矩阵^[1]指对称幂等矩阵，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值。

定义

大小为n的中心化矩阵是n×n的

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}}$

其中${\displaystyle I_{n}\,}$是单位矩阵，${\displaystyle J_{n}}$是n×n一矩阵。例如

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]}$ ,

${\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}$

性质

给定长为n的列向量${\displaystyle \mathbf {v} \,}$，${\displaystyle C_{n}\,}$的中心性可表为

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}}$

其中${\displaystyle J_{n,1}}$是值全为1的列向量，${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} }$是${\displaystyle \mathbf {v} \,}$的分量的平均值。

• ${\displaystyle C_{n}\,}$是正半定对称阵。

• ${\displaystyle C_{n}\,}$是幂等矩阵，所以${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}\ (k=1,2,\ldots )}$。均值被移除的话它就是零，再次移除也没有任何影响。
• ${\displaystyle C_{n}\,}$是奇异矩阵/不可逆矩阵。应用${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} }$变换的效果无法逆转。
• ${\displaystyle C_{n}\,}$具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0

• ${\displaystyle C_{n}\,}$沿向量${\displaystyle J_{n,1}}$有维度为1的零空间。

• ${\displaystyle C_{n}\,}$是正交投影矩阵。也就是说${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$是${\displaystyle \mathbf {v} \,}$在n-1维线性子空间上的投影，其与零空间${\displaystyle J_{n,1}}$正交（这是所有分量和为0的n向量构成的子空间）。
• ${\displaystyle C_{n}}$的迹是${\displaystyle n(n-1)/n=n-1}$。

应用

虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法，但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值，还可去除存储在m×n矩阵${\displaystyle X}$的行或列中多个向量的均值。

左乘${\displaystyle C_{m}}$将从n列的每一列减去相应的均值，这样积${\displaystyle C_{m}\,X}$的每列的均值都是0。相似地，右乘${\displaystyle C_{n}}$会从每行减去相应的均值，这样积${\displaystyle X\,C_{n}}$的每行均值都为0。两侧均乘：${\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}}$将产生行列均值均为0的矩阵。

中心化矩阵提供了一种表示散布矩阵的方法：对数据样本${\displaystyle X\,}$，有${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$，其中${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}}$是样本均值。有了中心化矩阵，可以将散布矩阵更简洁地表示为

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$是多项分布的协方差矩阵，在特殊情况下分布参数为${\displaystyle k=n}$，${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$。