五角锥球状屋顶

五角锥球状屋顶（日语：五角錐球形屋根^[1]、英语：Disphenocingulum）是一种由20个三角形和4个正方形组成的二十四面体^[2]，为詹森多面体的其中一个，索引为J₉₀^[3]。其可以借由合并2个去除2个三角形面的球状屋顶来构造，但它无法由柏拉图立体（正多面体）和阿基米得立体（半正多面体）经过切割、增补而得来，是詹森多面体中的基本立体之一。詹森多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·詹森（Norman Johnson）命名并给予描述^[4]。

五角锥球状屋顶

类别	詹森多面体 J89 - J90 - J91
识别
名称	五角锥球状屋顶 Disphenocingulum
别名	五角錐球形屋根（日语）
参考索引	J90
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	dawci
性质
面	24
边	38
顶点	16
欧拉特征数	F=24, E=38, V=16 （χ=2）
组成与布局
面的种类	4+2×8个三角形 4个正方形
顶点图	4个(32.42) 4个(35) 8个(34.4)
对称性
对称群	D2d群
特性
凸
图像
（展开图）

性质

五角锥球状屋顶共由24个面、38条边和16个顶点组成^[5][6][7][8]。其可以视为由2个去除2个三角形面的球状屋顶三角形面重新排列合并而成，每个去除2个三角形面的球状屋顶有12个面，三角形面重新排列合并完成后为二十四面体。其英文名称字首“di-”表示两个球状屋顶，而字尾“-cingulum”（为belt（腰带）的拉丁语）指的是12个分布于两个正方形“屋顶”周围的三角形的腰带，两者彼此旋转90度互相接合^[7]。虽然这24个面皆为正多边形，但由于其有多种顶角，不满足点可递的特性，因此不属于均匀多面体，这类立体早在1966年由诺曼·詹森（Norman Johnson）命名并给予描述^[4]。

在组成五角锥球状屋顶的24个面中，有20个三角形面和4个正方形面^[6][8]。在其16个顶点中，有4个是5个三角形的公共顶点^[8]，在顶点图中可以用[3⁵]来表示^[9]、还有8个顶点是4个三角形和1个正方形的公共顶点，在顶点图中可以用[3⁴,4]来表示^[9]、剩下的4个顶点是2个三角形和2个正方形的公共顶点^[8]，在顶点图中可以用[3²,4²]来表示^[9]。

体积与表面积

若一个五角锥球状屋顶边长为${\displaystyle a}$，则其表面积${\displaystyle A}$为：^[10]

${\displaystyle A=4+5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.6603a^{2}}$^[11]

在92种詹森多面体中，有13种詹森多面体的单位边长体积（V/a³）无法表达为解析数。而五角锥球状屋顶就是这13种詹森多面体之一。

由于其体积无法表达为解析数，但可以用近似值表示。边长为${\displaystyle a}$的五角锥球状屋顶体积近似为：

${\displaystyle V\approx 3.7776453418585752429a^{3}}$^[6]。

上述体积近似值为以下多项式的最大实根：^[12]

1213025622610333925376 x24 + 54451372392730545094656 x22 − 796837093078664749252608 x20 − 4133410366404688544268288 x18 + 20902529024429842816303104 x16 − 133907540390420673677230080 x14 + 246234688242991598853881856 x12 − 63327534106871321714442240 x10 + 14389309497459555704164608 x8 + 48042947402464500749392128 x6 − 5891096640600351061013664 x4 − 3212114716816853362953264 x2 + 479556973248657693884401

顶点座标

令${\displaystyle a}$ ≈ 0.76713为下列多项式的实根

${\displaystyle {\begin{aligned}&256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}\\&\quad {}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23\end{aligned}}}$

和${\displaystyle h={\sqrt {2+8a-8a^{2}}}}$和${\displaystyle c={\sqrt {1-a^{2}}}}$。

则边长为2的五角锥球状屋顶可以由下列顶点的轨道的并集在沿xz平面和yz平面镜射所产生的空间对称群之群作用下给出：^[13]

${\displaystyle \left(1,2a,{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1,0,2c+{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1+{\frac {\sqrt {3-4a^{2}}}{c}},0,2c-{\frac {1}{c}}+{\frac {h}{2}}\right)}$

相关多面体

• 
  球状屋顶
  （原始的球状屋顶立体）
• 
  球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的球状屋顶）
• 
  侧锥球状屋顶
  （在正方形面叠上正四角锥的球状屋顶）
• 
  加长型球状屋顶
  （正方形附近的4个位置上各加上1个正三角形的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶
  （“屋顶”部分由3个正方形组成的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的广底加长型球状屋顶）
• 
  五角锥球状屋顶
  （合并两个移除了两个正三角形的球状屋顶）

参见

• 詹森多面体
• 多面体