五边形镶嵌

在几何学中，五边形镶嵌是指用五边形镶嵌平面。

已知的15种凸五边形镶嵌

正五边形不能镶嵌平面，因为其内角是108°，不能整除360°。截至2015年 (2015-Missing required parameter 1=month!)^[update]，已知有15种凸五边形镶嵌平面。2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在上述的15种凸五边形镶嵌平面情况。^[1]

历史

Reinhardt (1918)发现了“镶嵌块递移”（tile transitive）的5种五边形镶嵌，即是说镶嵌的对称性可以将任何一块带到任何另一块（用数学语言描述，镶嵌的自同构群作用在镶嵌块上是可递的。）Kershner (1968)发现了3种新的五边形镶嵌，都不是镶嵌递移的；他错误声称已经找出所有的五边形镶嵌。1975年Richard E. James III找到第9种。Schattschneider (1978)描述业馀数学家玛乔里·赖斯在1976至1977年间找到新的4种五边形镶嵌。Schattschneider (1985)描述Rolf Stein在1985年找到的第14种五边形镶嵌。Bagina (2011)证明边对边（edge-to-edge）的凸五边形镶嵌只有8种，Sugimoto (2012)独立证出同一结果。2015年，华盛顿大学数学家Casey Mann、Jennifer McLoud和David Von Derau发现了第15种五边形镶嵌，使用了电脑算法搜寻。^[2]

五边形的性质

15种凸五边形镶嵌平面

1	2	3	4	5
B+C=180° A+D+E=360°	c=e B+D=180°	a = b, d = c + e A = C = D = 120°	b = c, d = e B = D = 90°	a = b, d = e A = 60°, D = 120°
6	7	8	9	10
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°	b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360°	a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
11	12	13	14	15
2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360°	2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32°, D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68° (2B + C = 360°, C + E = 180°).	a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

参考文献