亚历山大对偶

在数学中，亚历山大对偶是指由 J.W. Alexander于1915年的研究中所发现一种对偶理论。它在随后由帕维尔·亚历山德罗夫和列夫·庞特里亚金等人做了进一步发展。

对于欧氏空间、球面或其他的某些流形的一个子空间 ${\displaystyle X}$，亚历山大对偶可以用于求 ${\displaystyle X^{c}}$ 的同调群。亚历山大对偶是Spanier-Whitehead对偶的一种推广。

定理（亚历山大对偶）[1]

考虑 n 维球面 ${\displaystyle S^{n}}$ 的一个紧子空间${\displaystyle X}$，若其局部可缩，则有：

$${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)}$$

其中 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$ 代表空间 ${\displaystyle X}$ 的 ${\displaystyle i}$ 维约化同调群，同样，${\displaystyle {\tilde {H}}^{i}(X)}$ 代表空间 ${\displaystyle X}$ 的 ${\displaystyle i}$ 维约化上同调群。