交叉格拉姆矩阵

交叉格拉姆矩阵（cross Gramian）是控制理论中的名词，会用${\displaystyle W_{X}}$或${\displaystyle W_{CO}}$来表示，是用来判断线性系统可控制性及可观测性的格拉姆矩阵^[1][2]。

针对线性的时不变线性系统

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu\,}$

${\displaystyle y=Cx\,}$

其交叉格拉姆矩阵定义为：

${\displaystyle W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,}$

也是以下西尔维斯特方程的解：

${\displaystyle AW_{X}+W_{X}A=-BC\,}$

三数组${\displaystyle (A,B,C)}$有可控制性及可观测性若且唯若${\displaystyle W_{X}}$为非奇异方阵（也就是说，针对任意时间${\displaystyle t>0}$，${\displaystyle W_{X}}$都有满秩）。

若对应系统${\displaystyle (A,B,C)}$是对称的，也就是存在转换矩阵${\displaystyle J}$使下式成立

${\displaystyle AJ=JA^{T}\,}$

${\displaystyle B=JC^{T}\,}$

则交叉格拉姆矩阵的特征值绝对值会等于汉克尔奇异值^[3]：

${\displaystyle |\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,}$

因此交叉格拉姆矩阵的奇异值分解的直接截断会允许模型降阶（英语：model order reduction）。

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