交替多线性映射

在数学中，具体来说在多线性代数中，交替多线性映射是所有参数都属于同一个向量空间（例如双线性形式或多线性形式）的多线性映射。若任意一对参数相等，交替多线性映射就为零。这可以直接推广到交换环上的模。

交替化的概念是指：对于任意一个所有参数都属于同一空间的多线性映射，均可通过该操作构造出一个交替多线性映射。

定义

令 ${\displaystyle R}$ 为一交换环，${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle W}$ 是环上的模。若一多线性映射具有形式 ${\displaystyle f:V^{n}\mapsto W}$，则其在满足以下等价条件之一时被称为交替的：

1. 当存在 ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ 使得 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{i+1}}$ 时，则 ${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right)=0}$。^[1][2]
2. 当存在 ${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq n}$ 使得 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{j}}$ 时，则 ${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right)=0}$。^[1][3]

向量空间

令 ${\displaystyle V}$ 与 ${\displaystyle W}$ 为同一个域上的向量空间。则如果一个多线性映射 ${\displaystyle f:V^{n}\mapsto W}$ 满足

• 若 ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$ 线性相关，则 ${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right)=0}$。

则称其为交替的。^[4]

例子

在李代数中，李括号是交替双线性映射。

矩阵的行列式是其行或列的交替多线性映射。^[5]

性质

如果 ${\displaystyle c}$ 在基环 ${\displaystyle R}$ 里，则对任意 ${\displaystyle i\neq j}$，将交替多线性映射的分量 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ 替换为 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}+c\mathbf {x} _{j}}$ 后，映射的值不变。^[3]

每个交替多线性映射都是反对称的（英语：Bilinear_form#Symmetric,_skew-symmetric,_and_alternating_forms），^[6]也就是说^[1]，对任意 ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ 有： $${\displaystyle f\left(\dots ,\mathbf {x} _{i},\mathbf {x} _{i+1},\dots \right)=-f\left(\dots ,\mathbf {x} _{i+1},\mathbf {x} _{i},\dots \right),}$$ 或其等价形式，将 ${\displaystyle n}$ 阶置换群记作 ${\displaystyle S_{n}}$，${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$ 是 ${\displaystyle \sigma }$ 的符号，则对任意 ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ 有：$${\displaystyle f\left(\mathbf {x} _{\sigma \left(1\right)},\dots ,\mathbf {x} _{\sigma \left(n\right)}\right)=\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)f\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right).}$$^[7] 若 ${\displaystyle n!}$ 是基环 ${\displaystyle R}$ 的可逆元，则每个反对称 ${\displaystyle n}$-线性形式都是交替的。

交替化

给定一个具有形式 ${\displaystyle f:V^{n}\mapsto W}$ 的多线性映射，对应的交替多线性映射 ${\displaystyle g:V^{n}\mapsto W}$ 可由下式定义：$${\displaystyle g\left(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\right):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \left(\sigma \right)f\left(\mathbf {x} _{\sigma \left(1\right)},\dots ,\mathbf {x} _{\sigma \left(n\right)}\right).}$$ ${\displaystyle g}$ 称为 ${\displaystyle f}$ 的交替化。

性质

• 交替 ${\displaystyle n}$-线性映射的交替化是其本身乘上 ${\displaystyle n!}$。
• 对称映射的交替化为零。
• 双线性映射的交替化是双线性的。更特别地，任意上闭链（英语：cocycle）（cocycle）的交替化是双线性的。这个重要事实使得格（lattice）的二阶上同调群与格上的交替双线性形式群建立起同构关系。^{[来源请求]}

参见

• 交替代数
• 双线性映射
• 外代数§交替多线性形式（英语：Exterior algebra#Alternating multilinear forms）
• 映射
• 多线性代数
• 多线性映射
• 多线性形式
• 对称化