伐里农定理 (力学)

伐里农定理是法国数学家皮埃尔·伐里农（1654–1722）在《新力学构想》（Projet d'une nouvelle mécanique）（1687）中发表的定理。该定理指出，系统的合力矩等于各分力矩的矢量和。^[1]

证明

考虑${\displaystyle N}$个力矢${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{N}}$，它们共同作用于一点${\displaystyle \mathbf {O} }$，则结果为：

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}}$.

每个分力相对于其他点${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$的力矩为

${\displaystyle \mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {f} _{i}}$.

将力矩相加并去掉公因子${\displaystyle (\mathbf {O} -\mathbf {O_{1}} )}$，可见结果可完全用${\displaystyle \mathbf {F} }$表示，实际上就是${\displaystyle \mathbf {F} }$相对于${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$点的力矩：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \left(\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}\right)=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {F} =\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {F} }}$.

证明了定理，即关于${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$的合力矩与各分力的分力矩之和相同。