伯克霍夫-格罗滕迪克定理

在代数几何学中，伯克霍夫-格罗滕迪克定理（英文：Birkhoff–Grothendieck theorem）刻画了复射影直线上的全纯向量丛。具体而言，所有 ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}}$上的全纯向量丛都是全纯线丛的直和^[1]。

正式表述

伯克霍夫-格罗滕迪克定理指出，在${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}}$ 上，任何一个全纯向量丛 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 总是全纯同构于线丛的直和

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}).}$

该表示在不计直和项的排列顺序的意义下是唯一的。

推广

伯克霍夫-格罗滕迪克定理可以被推广。对于复射影直线 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 上的代数向量丛，该结论也成立，其中 ${\displaystyle k}$ 是任意的一个域^[2]。

参见

• K-理论
• 欧拉正合列
• 射影空间