位似变换

在数学中，位似变换（英语：homothety）是仿射空间上的一种变换，由一点 ${\displaystyle S}$ 和一个非零常数 ${\displaystyle k}$ 决定。 ${\displaystyle S}$ 称为位似中心， ${\displaystyle k}$ 称为位似比。位似变换将点 ${\displaystyle X}$ 映射至满足以下规则的点 ${\displaystyle X'}$ ^[1]

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$

位似变换的作用是${\displaystyle X'=X+k{\overrightarrow {SX}}}$

也就是说，令 ${\displaystyle S}$ 点不变，把任意点 ${\displaystyle X}$ 映射到 ${\displaystyle X'}$ ，使得向量 ${\displaystyle SX}$ 和向量 ${\displaystyle SX'}$ 在一条直线上，而比例为 ${\displaystyle k}$ 。在欧氏几何中，位似变换就是固定一点的相似变换，当位似比${\displaystyle k>0}$时保持所有向量方向，而当${\displaystyle k<0}$时逆转所有向量方向。仿射空间上的所有的位似变换与平移变换一起，构成一个群，称为伸缩群或者位似——平移群。这个群是由所有把任意直线变为与其平行的直线的仿射变换构成的。