体积积分

数学（特别是多元微积分）里的体积积分（∭），也称为体积分，是在三维空间下的积分，是一种多重积分。体积积分在物理学上的许多应用都很重要，例如用通量密度计算通量，或是从密度函数计算质量。

座标系

多半会用微分体积元素${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}$来说明体积积分。 $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dV.}$$ 体积积分也是函数 ${\displaystyle f(x,y,z)}$在区域${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$里的多重积分，常常写成下式： $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$ 若在圆柱坐标系，体积积分如下 $${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$ 若在球坐标系（使用ISO的标示法，角度${\displaystyle \varphi }$为方位角，${\displaystyle \theta }$是相对极轴的角度），体积积分如下 $${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$ 利用雅可比矩阵，可以将三重积分从卡氏座标系转换到任意座标系。假设有${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (u,v,w)}$的变换。可以将体积积分表示如下 $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw}$$ 定义雅可比行列式如下 $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}}$$

相关条目

• Mathematics主题

• 高斯散度定理
• 曲面积分
• 体积元素
• 线元素（英语：Line element）
• 曲线积分

外部链接

• Multiple integral, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
• 埃里克·韦斯坦因. Volume integral. MathWorld.