数学(特别是多元微积分)里的体积积分(∭),也称为体积分,是在三维空间下的积分,是一种多重积分。体积积分在物理学上的许多应用都很重要,例如用通量密度计算通量,或是从密度函数计算质量。 座标系 多半会用微分体积元素 d V = d x d y d z {\displaystyle dV=dx\,dy\,dz} 来说明体积积分。 ∭ D f ( x , y , z ) d V . {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dV.} 体积积分也是函数 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} 在区域 D ⊂ R 3 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}} 里的多重积分,常常写成下式: ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z . {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.} 若在圆柱坐标系,体积积分如下 ∭ D f ( ρ , φ , z ) ρ d ρ d φ d z , {\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,} 若在球坐标系(使用ISO的标示法,角度 φ {\displaystyle \varphi } 为方位角, θ {\displaystyle \theta } 是相对极轴的角度),体积积分如下 ∭ D f ( r , θ , φ ) r 2 sin θ d r d θ d φ . {\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .} 利用雅可比矩阵,可以将三重积分从卡氏座标系转换到任意座标系。假设有 ( x , y , z ) ↦ ( u , v , w ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (u,v,w)} 的变换。可以将体积积分表示如下 ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ D f ( u , v , w ) | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) | d u d v d w {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw} 定义雅可比行列式如下 J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = | ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w | {\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}} Remove ads相关条目 Mathematics主题 高斯散度定理 曲面积分 体积元素 线元素(英语:Line element) 曲线积分 外部链接 Hazewinkel, Michiel (编), Multiple integral, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 埃里克·韦斯坦因. Volume integral. MathWorld. Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads