偏近点角

偏近点角 (Eccentricity Anomaly) 是在轨道上的天体现在的位置投影在垂直于椭圆半长轴的外接圆上，并从椭圆的中心量度和近拱点（periapsis）方向之间的角度。在下图中的标示为E（角zcx）。

用于本文的变数

计算

在太空动力学，偏近点角E可以由下式计算得到：

${\displaystyle E=\arccos {{1-\left|\mathbf {r} \right|/a} \over e}}$

此处：

• ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是轨道上天体的位置向量。(线段sp),
• ${\displaystyle a\,\!}$是轨道的半长轴（线段cz），和
• ${\displaystyle e\,\!}$ 是轨道的离心率。

对平近点角M，E和M的关系是：

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin {E}.\,\!}$

这个方程式可以重新解出，从${\displaystyle E_{0}=M}$开始，并使用${\displaystyle E_{i+1}=M+e\,\sin E_{i}}$的关系。

将这个方程式的${\displaystyle e}$以级数展开，当${\displaystyle e<0.6627434}$时，最初的几项是：

• ${\displaystyle E_{1}=M+e\,\sin M}$
• ${\displaystyle E_{2}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M}$
• ${\displaystyle E_{3}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M+{\frac {1}{8}}e^{3}(3\sin 3M-\sin M)}$.

还有其他更有效率的解决方法，可以作为推导的参考（参见Murray and Dermott ，1999, p.35），详细的推导过程和${\displaystyle e}$在数学上的极限值可以参考Plummer (1960, section 46)。

对真近点角T，E和T的关系是：

${\displaystyle \cos {T}={{\cos {E}-e} \over {1-e\cdot \cos {E}}}}$

或相等于

${\displaystyle \tan {T \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}.\,}$

半径（位置向量大小）和近点角的关系是：

${\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)\,\!}$

和

${\displaystyle r=a{(1-e^{2}) \over (1+e\cdot \cos {T})}.\,\!}$

相关条目

• 开普勒定律
• 平近点角
• 真近点角

参考资料

• Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
• Plummer, H.C., 1960, An Introductory treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)