伪内切圆

几何学中，三角形的伪内切圆^[1]是内切于三角形两条边和其外接圆的一个圆。与顶点${\displaystyle A}$的两条边相切的伪内切圆称为“关于点${\displaystyle A}$的伪内切圆”、“${\displaystyle A}$所对的伪内切圆”或“${\displaystyle A}$-伪内切圆”。

三角形${\displaystyle ABC}$内关于顶点${\displaystyle A}$的伪内切圆

关于三角形的每个顶点都有唯一的伪内切圆。

存在性及唯一性的证明

关于点${\displaystyle A}$的旁切圆是唯一的。

定义${\displaystyle \Phi }$为以下两个几何变换的复合：先以${\displaystyle A}$点为圆心，${\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}}$为半径作反演变换；再关于角${\displaystyle A}$的平分线作对称变换。由于反演变换和对称变换都为双射且变换前后保留交点的性质，${\displaystyle \Phi }$也有对应的性质。

${\displaystyle A}$点的旁切圆经${\displaystyle \Phi }$变换后的图像为内切于${\displaystyle AB}$、${\displaystyle AC}$，以及${\displaystyle ABC}$外接圆的一个圆，即关于点${\displaystyle A}$的伪内切圆。因此关于点${\displaystyle A}$的伪内切圆唯一确定。类似地，关于点${\displaystyle B}$及点${\displaystyle C}$的伪切圆也唯一确定。^[2]

其他性质

半径

以下公式说明了三角形内切圆半径 ${\displaystyle r}$ 和${\displaystyle A}$-伪内切圆半径 ${\displaystyle \rho _{A}}$ 的关系： $${\displaystyle r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}$$ 其中 ${\displaystyle \alpha }$ 是角${\displaystyle A}$的大小^[3]。

与伪内切圆在三角形边上的切点有关的性质

三角形内心${\displaystyle I}$为伪内切圆与三角形其中两边的切点${\displaystyle D}$和${\displaystyle E}$组成线段的中点^[4]。

${\displaystyle T_{A}D}$和${\displaystyle T_{A}E}$与圆${\displaystyle (ABC)}$除${\displaystyle T_{A}}$的交点分别为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$和${\displaystyle {\overset {\frown }{AC}}}$的中点^[4]。

跟伪内切圆与三角形外接圆切点有关的圆

${\displaystyle T_{A}BDI}$ 和 ${\displaystyle T_{A}CEI}$ 为圆内接四边形^[4]。

${\displaystyle T_{A}I}$与圆${\displaystyle (ABC)}$除${\displaystyle T_{A}}$的交点为弧${\displaystyle {\overset {\frown }{BAC}}}$的中点^[4]。