伪度量

对于集合${\displaystyle X}$中任意元素${\displaystyle x,y}$，若实值函数${\displaystyle d:(X,X)\to R}$符合以下三个条件，称它为一个伪度量（pseudometric）。

• ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

它和一般距离（度量）的定义的分别只在于伪度量容许对于相异的元素${\displaystyle x,y}$，${\displaystyle d(x,y)=0}$。

例子

• ${\displaystyle X}$为向量空间，${\displaystyle p}$是半范数，${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}$是${\displaystyle X}$的伪度量
• 有集${\displaystyle X,Y}$，其中${\displaystyle Y}$上有一距离${\displaystyle d(Y)}$，设${\displaystyle F(X)}$为所有${\displaystyle X\to Y}$的函数之集，取${\displaystyle x_{0}\in X}$，则${\displaystyle d(f,g)=d_{Y}(f(x_{0})-g(x_{0}))}$是一个${\displaystyle F(X)}$的伪度量。

拓扑空间

• 对于集${\displaystyle X}$有伪度量d，则所有开球${\displaystyle S_{r}=\{x\in X|d(p,x)<r\}}$的族可以作为${\displaystyle X}$内一个拓扑空间的基。该拓扑空间是
• T₄。
• 第一可数空间。

若它是T₀，它是可距空间。

参考文献

• Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer. 1990. ISBN 3-540-18178-4. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur. Counterexamples in Topology new edition. Dover Publications. 1995 [1970]. ISBN 048668735X. 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
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• Example of pseudometric space. PlanetMath.