元完全数

元完全数（unitary perfect number）是指一整数其元因数的和等于整数的2倍，元因数是一种特殊的因数，一整数n若有元因数d，则d及n/d互质。

完全数和元完全数是不同的概念，有些完全数不是元完全数（例如28），而也有些数是元完全数，但不是完全数（例如60）。目前只有6同时是元完全数和完全数。

已知的例子

60的元因数有1, 3, 4, 5, 12, 15, 20, 60，元因数和为1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 + 60 = 120 = 60 * 2，因此60是元完全数，目前已知的几个元完全数为

• ${\displaystyle 6=2\times 3}$
• ${\displaystyle 60=2^{2}\times 3\times 5}$
• ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5}$
• ${\displaystyle 87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13}$
• ${\displaystyle 146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313}$ （OEIS数列A002827）。

其元因数的和是：

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 divisors in the sum)

性质

没有奇数的元完全数。

目前还不知道元完全数是否有无限多个，也还不知道除了上述五个元完全数外，是否还有其他的元完全数。若存在第六个元完全数，至少会有九个相异的质因数^[1]。