克利福德丛

在数学中， 克利福德(Clifford) 丛是一种代数丛，其纤维具有克利福德代数的结构，并且其局部平凡化遵循代数结构。任何（伪）黎曼流形M都对应有一个自然的 克利福德丛，称为M的 克利福德丛。

这通常被称为 S ³的霍普夫纤维化，是海因茨·霍普夫 (1931) 指出的一种拓扑构造。但霍普夫的程序明确地基于（并附有适当参考）早期的“克利福德平行线”的几何构造。 ^[1]

一般构造

设V是一个（实数或复数）向量空间，且具有对称双线性形式<·,·>。克利福德代数Cℓ ( V ) 是由V生成的自然（单位结合）代数，仅满足以下关系

${\displaystyle v^{2}=\langle v,v\rangle }$

对于V中的所有v 。 可以将Cℓ ( V ) 构造为V的张量代数由上述关系生成的理想的商代数。

与其他张量运算一样，这种构造可以在光滑向量束上以纤维方式进行。设E是光滑流形M上的光滑向量丛，设g是E上的光滑对称双线性形式。E的Clifford 丛是这样的纤维丛，其纤维是由E的纤维生成的 Clifford 代数：

${\displaystyle C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x})}$

Cℓ ( E ) 的拓扑结构由E的拓扑结构通过相关束构造确定。

人们最常感兴趣的是g为正定的或至少是非退化的情况；也就是说，当 ( E, g ) 为黎曼向量束或伪黎曼向量束时。为了具体起见，假设 ( E, g ) 是黎曼向量束。 E的 Clifford 束可以按如下方式构造。令Cℓ _n R为由R ⁿ以欧氏度量生成的 Clifford 代数。正交群O( n ) 对R ⁿ的标准作用引发Cℓ _n R的分级自同构。同态

${\displaystyle \rho :\mathrm {O} (n)\to \mathrm {Aut} (C\ell _{n}\mathbb {R} )}$

由以下因素决定

${\displaystyle \rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})}$

其中v _i均为R ⁿ中的向量。 E的 Clifford 束由下式给出：

${\displaystyle C\ell (E)=F(E)\times _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R} }$

其中F ( E ) 是E的正交框架丛。由此构造可知， Cℓ ( E ) 的结构群为 O( n )。由于 O( n ) 通过Cℓ _n R上的分次自同构作用，因此Cℓ ( E ) 是M上的Z _{2 分}次代数的丛。Clifford 丛Cℓ ( E ) 可以分解为偶子丛和奇子丛：

${\displaystyle C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).}$

如果向量束E是可定向的，则可以按照自然的方式将Cℓ ( E ) 的结构群从 O( n ) 简化为 SO( n )。

黎曼流形的克利福德丛

如果M是度量为g的黎曼流形，则M的 Clifford 束是由切束TM生成的 Clifford 束。我们还可以用余切丛T * M构建一个 Clifford 丛。该度量诱导出一个自然同构TM = T * M ，因此也诱导出一个同构Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M )。

M的 Clifford 丛与M的外丛之间存在自然向量丛同构：

${\displaystyle C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).}$

这是向量束的同构，而不是代数束的同构。同构是由每根纤维上相应的同构引起的。这样，人们就可以把 Clifford 丛的各个部分想象成M上的微分形式，配备了 Clifford 乘法，而不是楔积（与度量无关）。

上述同构在以下意义上保持分次：

${\displaystyle {\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^{1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}}$

局部描述

对于向量${\displaystyle v\in T_{x}M}$在${\displaystyle x\in M}$以及一个表格${\displaystyle \psi \in \Lambda (T_{x}M)}$ Clifford 乘法^[2]定义为

${\displaystyle v\psi =v\wedge \psi +v\lrcorner \psi }$ ，

其中第一项使用了度量对偶来将向量变为一种形式。

然后外导数${\displaystyle d}$及其衍生品${\displaystyle \delta }$可以与公制连接相关${\displaystyle \nabla }$使用正交基的选择${\displaystyle \{e_{a}\}}$经过

${\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =-e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$ 。

利用这些定义，狄拉克-凯勒算子^[2][3] 定义为

${\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }$ 。

在星型域上，对于外导数，可以利用庞加莱引理对该算子求逆，对于同导数，可用霍奇星型对偶对该算子进行求逆。 ^[4]实现这一目标的实际方法是通过同伦算子和上同伦算子。 ^{[4] [5]}

参见

• 正交框架束
• 旋量
• 自旋流形
• 旋量表示
• 自旋几何
• 自旋结构
• Clifford 模块包