克拉克变换

克拉克变换（Clarke transformation）也称为${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$变换，是电机工程学里简化三相电分析的数学变换（英语：Transform (mathematics)），常用在三相逆变器的控制上，可以将平衡的三相系统转换为互相垂直的二相系统，方便信号的处理。

克拉克变换和派克变换（park transform）都是简化三相电分析用的数学变换，在电机控制时也常一起使用。

历史

伊迪丝·克拉克（英语：Edith Clarke）在1937年和1938年发表了应用在不平衡三相电力系统的变换及计算，此方法可以简化计算^[1]。

定义

伊迪丝·克拉克用在三相电流的克拉克变换如下^[2]：

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

其中

${\displaystyle i_{abc}(t)}$是一般的三相电流

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$是经${\displaystyle T}$变换后所得的电流

逆变换为：

${\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

上述的克拉克变换保持了电机变数的量值。考虑以下对称的三相电流信号

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle I}$是${\displaystyle i_{a}(t)}$、${\displaystyle i_{b}(t)}$和${\displaystyle i_{c}(t)}$的平方平均数

${\displaystyle \theta (t)}$是随时间变化的角度，可以表示为${\displaystyle \omega t}$^。

将上述三相电流信号进行变换，可得

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

变换后的电流量值和变换前相同。

功率不变变换

电机系统的电压和电流，经过上述的变换后，实功和虚功会和原系统会差一个系数，原因是因为${\displaystyle T}$不是酉矩阵（unitary matrix）。若要让实功和虚功的值在变换前后相同，需要用以下的变换

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

变换矩阵是酉矩阵，而且其逆矩阵恰好为其转置矩阵^[3] 不过在此例中，变换后电流的量值就和变换前不同了，变换后的电流如下

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

其逆变换为

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

简化的变换

在平衡系统中，${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$，因此，${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$。以下是简化版的变换^[4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

是只考虑前二个方程的克拉克变换，其逆变换如下

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}}$

几何诠释

克拉克变换可以视为是将三个相量（电压或电流）投影到二个固定的座标轴（alpha轴和beta轴）上。若三相平衡的话，所有资讯都可以保留，因为方程${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$和变换后的${\displaystyle I_{\gamma }}$的方程等效。若系统不平衡，则在投影后${\displaystyle I_{\gamma }}$项会有误差量。因此，${\displaystyle I_{\gamma }}$为0表示三相系统平衡，可以只考虑二个座标下的运算。这是克拉克变换的优雅之处，在三相平衡的假设下，将三个分量的系统变换为二个分量的系统。

另一种理解的方式是方程${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$定义了一个在三维空间下的平面，alpha-beta座标空间可以理解为该平面上的座标，也就这二个座标轴都在${\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0}$定义的平面上。

[[Image:AlphaBeta geometric interpretation.gif|center|frame|上图是${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$变换应用在三个相差120度的对称电流上。三个电流和对应电压相量的角度差为${\displaystyle \delta }$。图中The ${\displaystyle \alpha }$-${\displaystyle \beta }$轴的标示方式是让${\displaystyle \alpha }$轴和A相重合，电流向量${\displaystyle I_{\alpha \beta \gamma }}$以角速度${\displaystyle \omega }$旋转，因为是三相平衡系统，没有${\displaystyle \gamma }$分量。

相关条目

• 对称分量（英语：Symmetrical components）
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