内斯比特不等式

内斯比特不等式（英语：Nesbitt's inequality）是数学的一条不等式，它说对任何正实数${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$，都有：

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

当且仅当 ${\displaystyle a=b=c}$，等号成立。

证明

基于平均数不等式的证明

此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：

${\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}}$，

移项得出：

${\displaystyle [(a+b)+(a+c)+(b+c)]\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9}$，

整理左式：

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}\geq {9 \over 2}}$，

${\displaystyle \left({\frac {a}{b+c}}+1\right)+\left({\frac {b}{a+c}}+1\right)+\left({\frac {c}{a+b}}+1\right)\geq {9 \over 2}}$。

因而不等式得证。

基于配方法的证明

注意到：

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {3}{2}}+{\frac {(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}}+{\frac {(b-c)^{2}}{2(c+a)(a+b)}}+{\frac {(c-a)^{2}}{2(a+b)(b+c)}}\geq {\frac {3}{2}}}$

因而不等式得证。