将向量
投影于坐标轴
,可以求得其反变分量
;将向量
投影于坐标曲面的法线
,可以求得其共变分量
。
在欧几里得空间R3里,使用内积运算,能够从向量求得馀向量。给予一组可能不是标准正交基的基底,其基底向量为
、
、
,就可以计算其对偶基底的基底向量:
;
其中,
是三个基底向量
、
、
所形成的平行六面体的体积。
反过来计算,
;
其中,
是三个基底向量
、
、
所形成的平行六面体的体积 。
虽然
与
并不相互标准正交,它们相互对偶:
。
这样,任意向量
的反变坐标为
。
类似地,共变坐标为
。
这样,
可以表达为
,
或者,
。
综合上述关系式,
。
向量
的共变坐标为
;
其中,
是度规张量。
向量
的反变坐标为
;
其中,
是共轭度规张量。
共变坐标的标号是下标,反变坐标的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变坐标和反变坐标,所有的标号都可以用下标来标记。