减法

减法（英语：substraction、法语：soustraction）是四则运算之一。减法运算的本质，就是“逆着加法去寻找原数”。

将5个桃子扣去2个，还剩3个，此时可以表达为${\displaystyle 5-2=3}$

例如：${\displaystyle {{5}-{2}}=3}$ 中，已知 ${\displaystyle 5}$ 是 ${\displaystyle 2}$ 和 ${\displaystyle 3}$ 的和，其中一个加数是 ${\displaystyle 2}$ ，求另一个加数 ${\displaystyle 3}$ 。

其中，${\displaystyle 5}$ 称为被减数，${\displaystyle 2}$ 称为减数，${\displaystyle 3}$ 是 ${\displaystyle 5}$ 和 ${\displaystyle 2}$ 的差。

减法遵循几个重要的规律：

减法不像加法那样符合交换律，即改变运算顺序会一同改变结果符号。它也不满足结合律，也就是说，当需要连续减去两个以上的数时，减法的执行顺序会影响结果。由于 ${\displaystyle 0}$ 是加法单位元，减去 ${\displaystyle 0}$ 不会改变一个数的值。

此外，减法在涉及相关运算（如加法和乘法）时也遵循可预测的规则。所有这些规则皆可从整数减法开始进行证明，并推广至实数、乃至更广泛的数学对象。所有遵循这些规律的通用二元运算在抽象代数中都有研究。

定义

波尔多某商店张贴的促销广告：购买香水第二瓶打八折（即减价两成）。

算术定义​

已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，符号为“ ${\displaystyle -}$ ”，结果为差。

集合论定义

在集合论中，减法通过差集定义。给定两个集合 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ ，它们的差集 ${\displaystyle A\backslash B}$ 包含所有属于 ${\displaystyle A}$ 但不属于 ${\displaystyle B}$ 的元素。例如：

若 ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$，${\displaystyle B=\{2,4\}}$，则 ${\displaystyle A\backslash B=\{1,3\}}$。

此外，在可计算性理论中，由于减法在自然数上并非良定义，数与数之间的运算实际上是通过“截断减法”或称为monus的运算来定义的。

代数结构中的定义

在更抽象的代数系统中（如群、环、域）：

• 群​​：若 ${\displaystyle G}$ 是一个群，减法 ${\displaystyle a-b}$ 定义为 ${\displaystyle a+(-b)}$，其中 ${\displaystyle -b}$ 是 ${\displaystyle b}$ 的加法逆元。
• 环与域​​：减法是加法的逆运算，满足封闭性、结合律及分配律的扩展性质。

例如，在整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中，减法确保对任意 ${\displaystyle a,b\in Z}$ ，存在唯一的 ${\displaystyle c}$ 使得 ${\displaystyle a=b+c}$ 。

符号与表示

主条目：减号

减法通常用被减数与减数之间的减号"-"来表示（中缀表示法的一种），运算结果则用等号“=”表示。例如：

${\displaystyle 2-1=1}$（2 减 1 等于 1）

${\displaystyle 4-6=-2}$（4 减 6 等于 -2）

在某些情况下，即使没有出现减号，减法运算亦可“约定俗成”。例如在记账的一列数中，若下方数字以红色显示，则通常表示需要减去该列中较小的数，差值写在该行下方横线之下的位置。^[1]

英语单词subtraction（减法，名词）来源于拉丁语动词“subtrahere”，而该动词本身由前缀“sub”（意为“（从）下方”）和动词“trahere”（意为“拉拽”）复合构成。^[2]因此，减法的字面含义就是“从下方拉出”或“取走”。而subtrahend（减数）则由添加动名词后缀“-nd”派生（字面意义为“被拉出的事物”）。

minuend（被减数）则源于拉丁动词“minuere”（意为“减少或缩小”），表示“被缩减的事物”。^[3]

性质

恒等性质

任何数减去 0​​ 都等于其本身：${\displaystyle a-0=a}$。

非运算性质

1. ​非交换律​​：${\displaystyle 5-3\neq 3-5}$
2. 非结合律​​：${\displaystyle (10-3)-2\neq 10-(3-2)}$

不同的减法运算

自然数减法

自然数集上的减法运算不满足封闭性：只有当被减数大于或等于减数时，差值才是自然数。例如 ${\displaystyle 11}$ 减去 ${\displaystyle 26}$ 就无法得到自然数结果。对此有两种处理方式：

1. ​偏函数法​​：直接假定 ${\displaystyle 11}$ 不能减去 ${\displaystyle 26}$ ，化减法为偏函数
2. ​整数扩展法​​：将结果表示为负整数，即 ${\displaystyle 11-26=-15}$

整数减法

想象一条长度为 ${\displaystyle b}$ 的线段，左端标记为 ${\displaystyle a}$ ，右端标记为 ${\displaystyle c}$ 。从 ${\displaystyle a}$ 点出发，向右移动 ${\displaystyle b}$ 个单位即可到达 ${\displaystyle c}$ 点。在数学上，这种右移通过加法运算建模：

${\displaystyle a+b=c}$

而从 ${\displaystyle c}$ 点出发，向左移动 ${\displaystyle b}$ 个单位就能回到 ${\displaystyle a}$ 点。这种左移则通过减法运算建模：

${\displaystyle c-b=a}$

再想象一条线段，这条线段则标有数字 ${\displaystyle 1}$ 、 ${\displaystyle 2}$ 、 ${\displaystyle 3}$ 。现在从位置 ${\displaystyle 3}$ 出发，向左移动 ${\displaystyle 0}$ 个单位，仍停留在 ${\displaystyle 3}$ ，因此 ${\displaystyle 3-0=3}$ ；向左移动 ${\displaystyle 2}$ 个单位，则到达位置 ${\displaystyle 1}$ ，因此 ${\displaystyle 3-2=1}$。

此线段的局限在于，无以描述从位置 ${\displaystyle 3}$ 向左移动 ${\displaystyle 3}$ 个单位后的情况，需延长数轴（即沿用整数数轴）方可。

分数减法

分数减法类似自然数和整数的减法，但要求分母相同。若两分数分母不同，可用通分实现：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {~{}ad-bc}{bd}}}$

实数减法

实数域可通过仅定义两个二元运算（加法与乘法）及两个一元运算（求加法逆元与乘法逆元）来构建。此时，从被减数中减去减数的实数运算，可定义为被减数与该减数加法逆元的加法运算。例如：

${\displaystyle 3-\pi =3+(-\pi )}$

若不依赖这些一元运算，亦可将减法与除法作为基本二元运算来处理。

抽象代数减法

向量减法

更多信息：向量

在线性代数中，向量空间是一个允许向量相加及缩放的代数结构。所有实数的有序对组成的集合就是一个常见的向量空间：有序对 (a, b) 被解释为欧几里得平面上从原点到由 (a, b) 表示的点的向量。两个向量的差是通过将对应的坐标相减完成的：(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)。

矩阵减法

更多信息：矩阵

大小相同的两个矩阵可以相减。两个 m × n 矩阵 A 和 B 的差也是一个 m × n 矩阵，用 A - B 表示，由对应元素相加得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} -\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&\cdots &a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&\cdots &a_{2n}-b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&\cdots &a_{mn}-b_{mn}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

基于群论的减法

设 ${\displaystyle (G,+)}$ 为一个阿贝尔群。我们在 ${\displaystyle G}$ 中定义一个新的内合成法则，称为“减法”并记作"−"，其定义为：

${\displaystyle x-y=x+(-y)}$

其中 ${\displaystyle -y}$ 表示元素 ${\displaystyle y}$ 的逆元。

需要注意的是，既用"-"表示元素 ${\displaystyle y}$ 的逆元 ${\displaystyle -y}$ ，又表示二元运算 ${\displaystyle x-y}$ ，属于符号的滥用。

一般的减法运算性质在此群论框架下依然成立。

范畴论中的减法

在范畴论中，减法并没有统一的直接对应物，但可以借助​​态射、核（kernel）、余核（cokernel）、差分对象​​等抽象概念来表达类似于“减法”的关系。

二进制减法

在计算机科学和数字逻辑中，减法是在​​二进制数​​之间进行的，通常使用​​补码方法来简化运算，详见下文“计算机算法”。

运算方法

竖式减法

从右向左相减的方法

美国竖式法

在美国所谓的“传统教学”中，学生在一年级末（或二年级期间）会学习一种针对多位整数的特定竖式减法运算，该流程会在四年级或五年级时扩展至包含小数的分数表示形式。目前几乎所有美国学校都教授一种使用借位（或称为重组，即分解算法）的竖式减法，并配合一套被称为"辅助记号"（crutches）的标记系统。^[4][5] 虽可能不愿承认，中国国内的主流算法却正是这种“美帝算法”。

用此法计算减法时，数从右向左逐位相减。具体操作步骤如下：

1. ​基本减法操作​​：用被减数（上方数字）的每一位减去减数（下方数字）对应位置的数字。
2. ​借位处理​​：当被减数的某一位数字小于减数对应位数字时（即"上方数字太小"），则：
   1. 先向该位"借10"（即在当前位数字上加10）
   2. 同时从其左边相邻的高位数字中"减去1"（即高位数字减1，相当于借出1个十）
3. ​连续运算​​：完成当前位的减法后，继续处理下一数位，根据需要重复借位操作，直至完成所有数位的减法运算。

下面以计算 ${\displaystyle 753-491}$ 为例：

• 
  先看被减数与减数的个位，分别是3和1。
• 
  3和1相减，结果是2，写在个位上。
• 
  再看两数的十位，分别是5和9。5减不了9，怎么办呢？
• 
  那就向百位“借10”！
• 
  15就可以减9了，结果是6，写在十位上。
• 
  最后看两数的百位，被减数余6，减数是4。
• 
  6和4相减，结果是2，写在百位上。
• 
  可得753和491的差是262。

美国竖式法还有一种变体，名为“先借位法”，其核心是：​​在进行任何减法运算之前，先完成所有的借位操作​​。^[6]

下面以计算 ${\displaystyle 751-493}$ 为例：

• 
  依然先看被减数与减数的个位，分别是1和3。1减不了3，先从十位“借10”得11。
• 
  再看两数的十位，被减数余4，减数是9，同上操作得14。
• 
  11和3相减，结果是8，写在个位上。
• 
  14和9相减，结果是5，写在十位上。
• 
  最后看两数的百位，余下的6与4相减，结果是2，写在百位上。
  可得751和493的差是258。

欧洲竖式法

部分欧洲学校采用一种称为欧洲法（或奥地利法）的竖式减法。此法不涉及借位运算，但会根据不同国家的习惯使用各种辅助记号（帮助记忆的标记）。^[7][8]

下面以计算 ${\displaystyle 753-491}$ 为例：

• 
  先看被减数与减数的个位，分别是3和1。
• 
  3=1+2，所以结果是2，写在个位上。
• 
  再看两数的十位，9加什么等于5呢？这没有自然数解。
• 
  那就从百位“借10”！被减数“变成”了15。
• 
  显然，15=9+6，所以结果是6，写在十位上。
• 
  最后看两数的百位。
• 
  7=(4+1)+2，所以结果是2，写在百位上。
• 
  可得753和491的差是262。

从左向右相减的方法

补数法的变体

减法运算也可以从左到右进行。这种不常见的方法实际上是补数法的一种变体，其特点是在精确计算差值之前，先处理所有的借位（进位）问题。由于该方法既不需要记录借位，也不需要记忆借位情况，因此不仅相对不易出现粗心错误，计算速度也非常快，甚至适用于心算。

下面以计算 ${\displaystyle 753-491}$ 为例：

• 
  先看被减数与减数的百位，7和4相减，结果是3，写在百位上。
• 
  再看两数的十位，5减不了9，怎么办呢？
• 
  当然是从百位的3“借1”！15和9相减，结果是6，写在十位上。
• 
  最后看两数的个位。
• 
  3和1相减，结果是2。
  可得753和491的差是262。

分步差减法

分步差减法与其他竖式减法的相异在于：它既不需要借位，也不需要进位。取而代之的是，根据被减数与减数的大小关系，在相应数位上标注正号或负号——若被减数大于减数则记为正，反之则记为负。最终，将所有数位上的分步差值（正负结果）相加，所得总和即为最终的差值结果。^[9]

下面以计算 ${\displaystyle 753-491}$ 为例：

• 
  先看被减数与减数的百位，700-400=300，写在横线下。
• 
  再看两数的十位，50-90=-40，写在横线下“300”的下方。
• 
  接着看两数的个位，3-1=2，写在横线下“-40”的下方。
• 
  最后将得到的三个新数相加：300+(-40)+2=262。
  可得753和491的差是262.

非竖式减法

递增进数法

不同于逐位计算差值，递增进数法通过计算减数与被减数之间的数值增量来求得差值。^[10]

示例​​：计算 ${\displaystyle 1234-567}$ 可通过以下步骤：

${\displaystyle 567+3=570}$

${\displaystyle 570+30=600}$

${\displaystyle 600+400=1000}$

${\displaystyle 1000+234=1234}$

将各步骤的递增值相加即得总差值：${\displaystyle 3+30+400+234=667}$

分步拆解法

另一种适用于心算的方法是将减法运算拆分为多个小步骤进行计算。^[11]

示例​​：计算 ${\displaystyle 1234-567}$ 可通过以下步骤：

${\displaystyle 1234-500=734}$

${\displaystyle 734-60=674}$

${\displaystyle 674-7=667}$

恒等变换法

该方法基于"对被减数和减数同时加减相同数值不改变差值结果"的数学原理，通过调整减数至零值来简化计算。^[12]

​​示例​​：计算 ${\displaystyle 1234-567}$ 可通过以下步骤：

${\displaystyle 1234-567}$

${\displaystyle =1237-570}$

${\displaystyle =1267-600}$

${\displaystyle =667}$