分数小波变换

分数小波变换（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统小波变换（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。

定义

分数傅里叶变换（FRFT）^[1]是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。^[2]然而，由于分数傅里叶变换使用全局核函数，它只强调了存在某些成分，而没有说明这些成分的时间定位。因此，对非平稳信号进行FRFT频谱分析时需要在时间-FRFT域进行联合分析。

对FRFT的一个修改时短时分数傅里叶变换（STFRFT）。^[3][4]STFRFT的思想时使用具有时间局域性的窗函数将信号分段，然后对每一段进行FRFT频谱分析。STFRFT可以在时间-FRFT域进行联合分析，然而，由于窗函数的长度是预先固定的，STFRFT并不能在时间域和FRFT域均提供良好的分辨率。换而言之，STFRFT的分辨率受到不确定性原理的约束^[5]，即窄窗具有较好的时间分辨率和较差的FRFT谱分辨率；宽窗具有较好的FRFT谱分辨率和较差的时间分辨率。然而多数实际信号高频成分持续时间较短，而低频成分持续时间较长。

Mendlovic和David推广了小波变换，提出了分数小波变换（FRWT）。^[6]

FRWT被定义为FRFT和小波变换（WT）的级联，即：

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{\alpha }(a,b)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} }{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)dtdu\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\left(\int \limits _{\mathbb {R} }f(t){\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)dt\right)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F_{\alpha }(u)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\\end{aligned}}}$

其中，变换的核函数${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)}$为：

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)={\begin{cases}A_{\alpha }e^{j{\frac {u^{2}+t^{2}}{2}}\cot \alpha -jut\csc \alpha },&\alpha \neq k\pi \\\delta (t-u),&\alpha =2k\pi \\\delta (t+u),&\alpha =(2k-1)\pi \\\end{cases}}}$

其中${\displaystyle A_{\alpha }={\sqrt {{(1-j\cot \alpha )}/{2\pi }}}}$，${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$表示${\displaystyle f(t)}$的FRFT。然而，由于时间信号在变换中丢失，这并不是时间-FRFT联合分布。

此外，Prasad和Mahato将信号和母小波的FRFT来表达信号的WT，并称这种表达为FRWT。^[7]即：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W_{\psi }^{\alpha }f\right)(b,a)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)dt\\&={\frac {\csc \alpha }{4\pi ^{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F(u\sin \alpha )\Psi ^{\ast }(au\sin \alpha )e^{j{\frac {u^{2}}{4}}(1-a^{2})\sin 2\alpha -jbu}du\\\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle F(u\sin \alpha )}$和${\displaystyle \Psi (u\sin \alpha )}$表示${\displaystyle f(t)}$和${\displaystyle \psi (t)}$的傅里叶变换（参数缩放了${\displaystyle \sin \alpha }$倍）。显然，这种所谓的FRWT与普通WT是相同的。

最近， Shi等人通过引入与FRFT有关的分数卷积^[8]提出了新的关于FRWT的定义。^[9]任意平方可积函数${\displaystyle f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )}$的FRFT定义为：

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)={\mathcal {W}}^{\alpha }[f(t)](a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi _{\alpha ,a,b}^{\ast }(t)\,dt}$

其中${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)}$是对母小波${\displaystyle \psi (t)}$的Chirp调制和连续仿射变换，即：

${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)e^{-j{\frac {t^{2}-b^{2}}{2}}\cot \alpha }}$

其中，${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+}} }$是尺度参数；${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$是位移参数。对应的逆FRWT变换为：

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi C_{\psi }}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} ^{+}}W_{f}^{\alpha }(a,b)\psi _{\alpha ,a,b}(t){\frac {da}{a^{2}}}db}$

其中${\displaystyle C_{\psi }}$是与选用的小波相关的常数，该常数决定了重建能否进行，即容许性条件（Admissibility condition）：

${\displaystyle C_{\psi }=\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {|\Psi (\Omega )|^{2}}{|\Omega |}}\,d\Omega <\infty }$

其中${\displaystyle \Psi (\Omega )}$表示${\displaystyle \psi (t)}$的傅里叶变换。容许性条件表明${\displaystyle \Psi (0)=0}$，即${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi (t)dt=0}$。因此，连续分数小波必须表现出震荡的性质，并在分数傅里叶域中体现出带通滤波器的特性。从这点来看，${\displaystyle f(t)}$的FRWT变换可以用FRFT域来表示，即：

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }{{\sqrt {2\pi a}}F_{\alpha }(u)\Psi ^{\ast }(au\csc \alpha )}{\mathcal {K}}_{\alpha }^{\ast }(u,b)du}$

其中${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$表示对${\displaystyle f(t)}$的FRFT，${\displaystyle \Psi (u\csc \alpha )}$表示${\displaystyle \psi (t)}$的傅里叶变换（参数缩放了${\displaystyle \csc \alpha }$倍）。当${\displaystyle \alpha ={\pi }/{2}}$时，FRWT退化为传统的小波变换。文献^[9][10]对此类FRWT进行了深入的讨论。

分数小波变换的多分辨分析（MRA）

该文^[11]概述了分数小波变换及其多分辨分析。