卡尔曼猜想

卡尔曼猜想（Kalman's conjecture）或卡尔曼问题（Kalman problem）是已找到反例的猜想，是针对非线性控制系统，其中有一个纯量非线性元素，此系统在线性稳定区间内的绝对稳定性。卡尔曼猜想是阿依热尔曼猜想的加强版本，也是Markus–Yamabe猜想（英语：Markus–Yamabe conjecture）的特例。卡尔曼猜想虽已证实为否，不过带出了（有效的）绝对稳定性的充份准则。

图1：控制系统的方块图，其中的G(s)是线性传递函数，而f(e)是单值连续可微的函数

卡尔曼猜想的数学描述（卡尔曼问题）

鲁道夫·卡尔曼在1957年的论文^[1]中提到：

若图1中的f(e)用e乘上常数K取代，K对应f'(e)中所有的可能值，发现闭回路系统在所有K值下都收敛。在直觉上会认为此系统是单调稳定的，也就是说，所有暂态的解都会收敛到唯一、稳定的临界点。

卡尔曼的描述可以写成以下的猜想^[2]：

考虑一个有单一纯量非线性函数的函数

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in R^{n},}$

其中P是常数的n×n矩阵，q、r是常数的n维向量，∗是转置符号，f(e)是纯量函数，f(0) = 0。假设，f(e)是可微分函数，而且满足以下条件

${\displaystyle k_{1}<f'(e)<k_{2}.\,}$

。则卡尔曼猜想是指此系统在大区域稳定（也就是其唯一驻点为全域吸引子）若配合f(e) = ke, k ∈ (k₁, k₂)的所有线性系统都是渐近稳定。

阿依热尔曼猜想要求非线性导数的条件，而卡尔曼猜想要求非线性本身要在线性区间内。

卡尔曼猜想在n ≤ 3时成立，若是n > 3，存在有效生成反例的作法^[3][4]：非线性的导数在线性稳定区间内，存在唯一稳定的平衡点，以及一个稳定的周期解（隐蔽振荡）。

在离散系统下，卡尔曼猜想只在n=1时成立，在n ≥ 2时可以建构反例^[5][6]。