向心力

向心力是当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力。“向心力”一词是从这种合外力作用所产生的效果而命名的。这种效果可以由弹力、重力、摩擦力等任何一力而产生，也可以由几个力的合力或其分力提供。

因为圆周运动属于曲线运动，在做圆周运动中的物体也同时会受到与其速度方向不同的合外力作用。对于在做圆周运动的物体，向心力是一种拉力，其方向随著物体在圆周轨道上的运动而不停改变。此拉力沿着圆周半径指向圆周的中心，所以得名“向心力”。向心力指向圆周中心，且被向心力所控制的物体是沿着切线的方向运动，所以向心力必与受控物体的运动方向垂直，仅产生速度法线方向上的加速度。因此向心力只改变所控物体的运动方向，而不改变运动的速率，即使在非匀速圆周运动中也是如此。非匀速圆周运动中，改变运动速率的切向加速度并非由向心力产生。

向心力的大小与物体的质量（m）、物体运动圆周半径的长度（r）和角速度（ω）有着密切关系。

公式(代数证法)

1. 一物体要做匀速圆周运动所需要的向心力大小为:

${\displaystyle F=m\omega ^{2}r}$

2. 欲知向心力与线速度大小的关系,可以将${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}$代入${\displaystyle F=m\omega ^{2}r}$,也就是物体的线速度与其角速度的关系:

${\displaystyle F=m\omega ^{2}r}$

${\displaystyle F=m{\frac {v^{2}}{r}}}$

定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外力作用，这个合外力叫做向心力。

方向：向心力的方向时刻指向圆心。做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合外力。

公式：根据牛顿第二定律F合=ma，把向心加速度的公式代入可得：

${\displaystyle \mathbf {F_{c}} =-{\frac {mv^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {mv^{2}}{r}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=-m\omega ^{2}\mathbf {r} =m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})}$

• 注：${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$表示${\displaystyle \mathbf {r} }$方向的单位向量。

3. 因此由上方的公式表述，从牛顿定律的带入可得知，

向心加速度为 ${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r}$

向心加速度之推导(毕氏三角证法)

向心加速度指示图

设 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ = ${\displaystyle {\boldsymbol {r+d}}}$(半径加上物体瞬间之掉落距离) 所以 ${\displaystyle \mathbf {d} }$ = ${\displaystyle {\boldsymbol {R-r}}}$ 由于 ${\displaystyle \mathbf {d} }$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a\Delta t^{2}}}}$; 则 ${\displaystyle \mathbf {a} }$= ${\displaystyle \left({\frac {2d}{\Delta t^{2}}}\right)}$

从毕氏定理知道 ${\displaystyle {\boldsymbol {R^{2}=r^{2}+D^{2}}}}$， 推得${\displaystyle \mathbf {d} ={\sqrt {r^{2}+D^{2}}}-r}$

且定${\displaystyle \mathbf {D} }$ = ${\displaystyle \mathbf {v\Delta t} }$

而在瞬间的情况之下之向心加速度：

${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2d}{\Delta t^{2}}}}$

把已知${\displaystyle {\boldsymbol {d}}}$ 代入,${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2({\sqrt {r^{2}+D^{2}}}-r)}{\Delta t^{2}}}}$

再把 ${\displaystyle {\boldsymbol {D=v\Delta t}}}$ 代入,

${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2({\sqrt {r^{2}+(v\Delta t)^{2}}}-r)}{\Delta t^{2}}}}$

分子、分母同乘${\displaystyle ({\sqrt {r^{2}+v^{2}\Delta t^{2}}}+r)}$ 用以去根号， ${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2(r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})-r^{2})}{\Delta t^{2}({\sqrt {r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})}}+r)}}}$

此时 ${\displaystyle {\boldsymbol {r^{2}}}}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {r^{2}}}}$ 相抵销， ${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2(v^{2})(\Delta t^{2})}{\Delta t^{2}({\sqrt {r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})}}+r)}}}$

此时 ${\displaystyle {\boldsymbol {t^{2}}}}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {t^{2}}}}$ 上下相抵销为 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}}$， ${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2(v^{2})}{{\sqrt {r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})}}+r}}}$

${\displaystyle a={\frac {2(v^{2})}{{\sqrt {r^{2}}}+r}}}$

${\displaystyle a={\frac {2(v^{2})}{2r}}}$

因此 ${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$

外部链接

• 甚么是向心力？甚么是离心力？（页面存档备份，存于互联网档案馆）