向量球谐函数

向量球谐函数(Vector spherical harmonics)是应用于球坐标系的拉普拉斯方程式的向量解，是球谐函数的向量衍伸形式。在必须计算向量场的电动力学等领域中被广泛应用。

定义

在球坐标系下，拉普拉斯算符作用在一三维向量场上可以写为

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}(r,\theta ,\phi )=0}$

利用分离变数法可以将此一方程式的解分解为一系列本征函数的线性组合

${\displaystyle {\vec {A}}=R_{l}(r)\mathbf {Y} _{m,l}^{(n)}(\theta ,\phi ),n=1,2,3}$

其中的径向解${\displaystyle R_{l}}$与纯量球谐函数相同，而${\displaystyle \mathbf {Y} _{m,l}^{(n)}}$为一与角度相关的向量解，也就是向量球谐函数。

向量球谐函数依用途有很多定义方式^{[1][2][3][4][5]}。这边我们依照 Barrera 等人的定义，以对球谐函数Y_ℓm(θ, φ)为基础，将三个向量球谐函数表示为

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{lm}=Y_{lm}{\hat {\mathbf {r} }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{lm}=r\nabla Y_{lm}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{lm}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{lm}}$

这边 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是对应球座标 (r, θ, φ) 的向量，而 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ 则为其单位向量。

主要特性

依照上述 Barrera 的定义，向量球谐函数有以下特性：

对称性

与球谐函数相同，向量球谐函数有对称性

${\displaystyle \mathbf {Y} _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Psi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Phi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*}}$

星号 * 代表共轭函数。

正交性

三种向量球谐函数彼此两两正交

${\displaystyle \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{lm}=0\qquad \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0\qquad \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}=0}$

另外同种类的球谐函数的内积为：

${\displaystyle \int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {Y} _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,\mathrm {d} \Omega =l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$

纯量场的梯度

对一个纯量场 ${\displaystyle \phi }$，若其多极展开可表示为：

${\displaystyle \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )}$

则其梯度可以向量球谐函数表示为：

${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} \phi _{lm}}{\mathrm {d} r}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right)}$

散度

三种向量球谐函数之散度分别为：

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=0}$

其中 ${\textstyle f(r)}$ 为球谐函数之径向分布， ${\displaystyle Y_{lm}}$ 为球谐函数。

旋度

三种向量球谐函数之旋度分别为：

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle \nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}}$

其中 ${\textstyle f(r)}$ 为球谐函数之径向分布

运用

电动力学

在没有源的空间中，马克士威方程组可以被简化为^{[来源请求]}

${\displaystyle \triangledown ^{2}\mathbf {E} +k_{m}^{2}\mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \triangledown ^{2}\mathbf {H} +k_{m}^{2}\mathbf {H} =0}$

此处 ${\displaystyle \mathbf {E} }$是电场，${\displaystyle \mathbf {H} }$是H场，${\displaystyle k_{m}}$是介质中的波数。

因为向量球谐函数可以很正确的描述简化后的电磁场方程式，所以在电动力学中，向量球谐函数获得广泛的利用。常见的应用如多极辐射或米氏散射等。

参见

• 球谐函数
• 电磁辐射