向量空间的维数定理

数学分支线性代数中，向量空间的维数定理表明，向量空间的任意一组基，都具有相同数量的元素。基的大小可能有限，也可能无穷（此时其大小为基数）。基的大小定义为向量空间的维数。^[1]

形式上，向量空间的维数定理指出：

设V为向量空间，${\displaystyle {\mathcal {B_{1},B_{2}}}}$为两组基，则两者等势，即元素个数${\displaystyle |{\mathcal {B}}_{1}|=|{\mathcal {B}}_{2}|}$。

由于基是线性独立的生成集，上述定理可由以下定理推出：

在一个向量空间V中，如果G是生成集，I是线性独立集，那么I的基数不大于G的基数。

特别地，如果V有限生成，则每一组基皆为有限，并且具有相同数量的元素^[2]。在一般情况下，证明“任何向量空间都包含一组基”需要佐恩引理，并且实际上等价于选择公理^{[来源请求]}，但证明“基的大小唯一”只需要布尔素理想定理^[3]。