哈代空间

在复分析中，哈代空间（或哈代类）${\displaystyle H^{p}}$是单位圆盘或上半平面上的某类全纯函数。高德菲·哈罗德·哈代首先在1915年考虑这类问题。在实分析中，实哈代空间是复哈代空间的成员在实数轴上的边界值。对于${\displaystyle 1<p<\infty }$，实哈代空间基本上等于${\displaystyle L^{p}}$空间。当${\displaystyle p\leq 1}$时，${\displaystyle L^{p}}$空间较难操作，而哈代空间的性质就比较容易掌握。

在较高维的情况，我们可考虑管状域（复数情形）及${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的函数，从而得到相应的定义。

哈代空间在数学分析、控制论及散射理论中有所应用。

单位圆盘的哈代空间

对${\displaystyle 0<p<\infty }$，哈代空间${\displaystyle H^{p}}$定义为开单位圆盘上满足下述性质的全纯函数${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

左侧的数定义为范数${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}}$。

若${\displaystyle 0<p<q<\infty }$，可证明${\displaystyle H^{q}\subset H^{p}}$。

上半平面的哈代空间

藉凯莱变换，可将单位圆盘的定义翻译到上半平面的情形。此时哈代空间等于上半平面上满足下述性质的全纯函数${\displaystyle F}$

${\displaystyle \sup _{y>0}\left(\int _{\mathbb {R} }|F(x+iy)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}<\infty }$

左侧的数定义为范数${\displaystyle \|F\|_{H^{p}}}$。

参考文献

• Cima, Joseph A.; Ross, William T., The Backward Shift on the Hardy Space, American Mathematical Society, 2000, ISBN 0-8218-2083-4
• Colwell, Peter, Blaschke Products - Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press, 1985, ISBN 0-472-10065-3
• Duren, P., Theory of ${\displaystyle H^{p}}$-Spaces, New York: Academic Press, 1970
• G.B. Folland, Hardy spaces, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
• Hardy, G. H., On the mean value of the modulus of an analytic function, Proceedings of the London mathematical society series 2, 1915, 14: 269–277
• Hoffman, Kenneth, Banach spaces of analytic functions, New York: Dover Publications, 1988, ISBN 0-486-65785-X
• Riesz, F., Über die Randwerte einer analytischen Funktion, Math. Z., 1923, 18: 87–95, doi:10.1007/BF01192397
• S.V. Shvedenko, Hardy classes, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）