四维频率

在电磁学里，平面电磁波的四维频率 ${\displaystyle f^{\mu }}$ 以公式定义为

${\displaystyle f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)}$ ；

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$或${\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}$。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，${\displaystyle (x)^{2}\,\!}$表示${\displaystyle x\,\!}$平方；而${\displaystyle {x}^{2}\,\!}$是${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$的第二个分量。

其中，${\displaystyle f}$ 是电磁波的频率，${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是朝著电磁波传播方向的单位矢量。

四维频率与自己的内积永远等于零：

${\displaystyle {f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}$ 。

类似地，四维角频率 ${\displaystyle \omega ^{\mu }}$ 以公式定义为

${\displaystyle \omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)}$ ；

其中，${\displaystyle \omega }$ 是电磁波的角频率。

显然地，

${\displaystyle \omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }}$ 。

四维波向量 ${\displaystyle {k}^{\mu }}$ 与四维角频率有密切的关系，定义为

${\displaystyle {k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是电磁波的波向量。

在本篇文章里，闵可夫斯基度规的形式被规定为 ${\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}$ ，这是参考了约翰·杰克森（John D. Jackson）的著作《经典电动力学》中所采用的形式；并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。

劳仑兹变换

给予两个惯性参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 、${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ；相对于参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，参考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 移动。对于这两个参考系，相关的劳仑兹变换矩阵 ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$ 是^[1]

${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}}$ ；

其中，${\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$ 是劳仑兹因子，${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$ 是贝他因子，${\displaystyle \beta _{x}}$ 、${\displaystyle \beta _{y}}$ 、${\displaystyle \beta _{z}}$ 分别是参考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 对于参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度 ${\displaystyle v_{x}}$ 、${\displaystyle v_{y}}$ 、${\displaystyle v_{z}}$ 的贝他因子。

设定一个朝著 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ 方向传播于真空的平面电磁波，对于参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，这平面电磁波以公式表达为

${\displaystyle \mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 、${\displaystyle \mathbf {B} }$ 分别是电磁波的电场、磁场，${\displaystyle E_{0}}$ 、${\displaystyle B_{0}}$ 分别是其波幅，${\displaystyle k^{\mu }}$ 是四维波向量，${\displaystyle x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )}$ 是四维位置，${\displaystyle \mathbf {x} }$ 是位置，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ 分别垂直于 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ ，而且 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 。

那么，对于参考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ，这平面电磁波以公式表达为

${\displaystyle {\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、

${\displaystyle {\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ 。

四维波向量 ${\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }}$ 与 ${\displaystyle {k}^{\mu }}$ 之间的关系为

${\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }}$ 。

经过一番运算，可以求得

${\displaystyle {\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c}$ ；

其中，${\displaystyle v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )}$ 是参考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 相对于参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的四维速度，${\displaystyle \mathbf {v} }$ 是参考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 相对于参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的速度。

在真空里，四维频率与四维波向量之间的关系为

${\displaystyle f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi }$ 。

所以，

${\displaystyle {\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c}$ 。

这也是参考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 的观察者所观察到的频率。

参阅

• 四维向量
• 电磁张量