给予两个惯性参考系
、
;相对于参考系
,参考系
以速度
移动。对于这两个参考系,相关的劳仑兹变换矩阵
是[1]
;
其中,
是劳仑兹因子,
是贝他因子,
、
、
分别是参考系
对于参考系
的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度
、
、
的贝他因子。
设定一个朝著
方向传播于真空的平面电磁波,对于参考系
,这平面电磁波以公式表达为
、
;
其中,
、
分别是电磁波的电场、磁场,
、
分别是其波幅,
是四维波向量,
是四维位置,
是位置,
、
分别垂直于
,而且
。
那么,对于参考系
,这平面电磁波以公式表达为
、
。
四维波向量
与
之间的关系为
。
经过一番运算,可以求得
;
其中,
是参考系
相对于参考系
的四维速度,
是参考系
相对于参考系
的速度。
在真空里,四维频率与四维波向量之间的关系为
。
所以,
。
这也是参考系
的观察者所观察到的频率。