四角化菱形十二面体

在几何学中，四角化菱形十二面体是一种由48个不等边三角形组成的卡塔兰多面体，又称为六八面体（hexoctahedron）^[1][2]、六角化八面体（hexakis octahedron^[3][4][5][6]）、八角化立方体（octakis cube、octakis hexahedron）、菱形四角化十二面体（kisrhombic dodecahedron^[8]），虽然其具有面可递的性质，然而由于其组成的面不是正多边形因此不能算是正多面体^[9]，其对偶多面体为大斜方截半立方体。

四角化菱形十二面体

（按这里观看旋转模型）
类别	卡塔兰立体
对偶多面体	大斜方截半立方体
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	siddykid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
康威表示法	mC
性质
面	48
边	72
顶点	26
欧拉特征数	F=48, E=72, V=26 （χ=2）
二面角	155° 4' 56" ${\displaystyle \arccos(-{\frac {71+12{\sqrt {2}}}{97}})}$
组成与布局
面的种类	不等边三角形
面的布局 （英语：Face configuration）	V4.6.8
顶点图	V4.6.8
对称性
对称群	Oh, B3, [4,3], *432
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	O, [4,3]+, (432)
特性
凸、 面可递
图像
V4.6.8 （顶点图） 大斜方截半立方体 （对偶多面体） （展开图）

性质

四角化菱形十二面体是卡塔兰立体的一种^[10]，即阿基米德立体的对偶多面体^[11]，其对应的阿基米德立体为大斜方截半立方体^[12][13]。并具有面可递的性质，这意味著，这立体上的任意两个面A和B，透过旋转或镜射这个立体，使A移动到B原来的位置时，其面仍然占据了相同的空间区域^[14]。所有的正多面体都拥有这个特性，然而四角化菱形十二面体并未所有边等长、组成的面也非正多边形，因此不属于正多面体^[9]。

组成

四角化菱形十二面体共由48个面、72个边、26个顶点组成，其中48个面为全等的三角形、72条边则有3种长度，每个长度各24条、26个顶点当中，有12个四面角顶点、8个六面角顶点、和 6个八面角顶点^[15]。

四角化菱形十二面体可以将菱形十二面体透过四角化变换来完成，其等价于将菱形十二面体每个面替换成一个顶点和四个三角形^[9]或在菱形十二面体的每个面上叠上一个菱形锥来组成四角化菱形十二面体。

体积与表面积

一个最短边边长为单位长的四角化菱形十二面体，其表面积A、体积V为^[16]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}}$

对称性

四角化菱形十二面体具有O_h, B₃, [4,3] (*432)的八面体群对称性（英语：Octahedral_symmetry）。其每条棱皆代表八面体群对称性的镜射线。其结构也可以透过将立方体在每个正方形面上以正方形的顶点、边中点和几何中心为基准将正方形分成8个三角形、或透过将正八面体在每个三角形面上以正三角形的顶点、边中点和几何中心为基准将正三角形分成6个三角形、或透过将菱形十二面体在每个菱形面上以菱形的几何中心为基准将菱形分成四个三角形来看出。^[17]

四角化菱形十二面体

球面镶嵌

立方体

正八面体

菱形十二面体

球极投影

与四角化菱形十二面体对应的球面镶嵌可透过透过9个球面大圆来构建^[18]（即四角化菱形十二面体投影到球面的结果）^[10]，因此在球极平面投影中，四角化菱形十二面体的棱可以在平面上形成9个圆或中心径向线。这9个圆或中心径向线可以分成两组，其中一组由3个圆或中心径向线组成（下图以紫色表示）、另一组由6个圆或中心径向线组成（下图以红色表示），分别代表其两个正交子群，分别是[2,2]（英语：Dihedral_symmetry_in_three_dimensions）和[3,3]（英语：tetrahedral symmetry）：

球极投影

平行投影		球极平面投影
图像
投影对称性		[4]	[3]	[2]

正交投影

四角化菱形十二面体及其对偶多面体大斜方截半立方体存在多个能投影出对称正交投影的投影方向。前两者的对偶图其对称性对应于A₂和B₂的考克斯特平面（英语：Coxeter plane）^[19][20]。

正交投影

投影对称性	[4]	[3]	[2]	[2]	[2]	[2]	[2]+
图像
对偶图像

面的组成

四角化菱形十二面体由48个全等的不等边三角形组成^[21]。

该三角形三边皆不等长。若其对偶多面体的大斜方截半立方体边长为单位长，则对应的四角化菱形十二面体组成面，最短边长为${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {3\left(10-{\sqrt {2}}\right)}}}{7}}}$、次长边长为${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {6\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}}{7}}}$、最长边长为${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {6\left(10+{\sqrt {2}}\right)}}}{7}}}$^[15]。若最短边长为单位长，则对应的短边长为1、次长边长为${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {2{\sqrt {2}}+4}}}{2{\sqrt {-{\sqrt {2}}+10}}}}\approx 1.338}$、最长边长为${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2{\sqrt {2}}+20}}{\sqrt {-{\sqrt {2}}+10}}}\approx 1.631}$，三个角角度分别为(55.02° ,37.77° ,87.20°)^[22]。

相关多面体与镶嵌

领结立方体和领结八面体的对偶多面体是一个外观与四角化菱形十二面体类似的多面体，其包含了额外的三角形对。[23]

四角化菱形十二面体可以将菱形十二面体透过四角化变换来完成，其等价于将菱形十二面体每个面替换成一个顶点和四个三角形^[9]，而菱形十二面体可以经由立方体透过会合变换构造，即将立方体每个面贴上角锥，并用适当的锥高，使角锥侧面与邻近面上贴的角锥之测面共面来获得。亦可以从其对偶多面体大斜方截半立方体经对偶变换而来，而四角化菱形十二面体也可以变换回其对偶大斜方截半立方体^[24]，而大斜方截半立方体也是立方体经过康威变换的结果。因此四角化菱形十二面体可以视为一个以立方体为出发点经由2次康威变换来完成。其他也是由立方体为出发点经由有限次的康威变换产生的多面体有：

半正正八面体家族多面体

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

菱形十二面体	四角化菱形十二面体	星形四角化菱形十二面体	反平行四边形二十四面体

在面的布局中，四角化菱形十二面体可以写成V4.6.8 ，其意义为其面由3个顶点组成，每个顶点依序是：四个面的公共顶点、六个面的公共顶点和八个面的公共顶点^[25]。其可以进一步的列在V4.6.2n的无穷序列中n为4的位置。

*n32变异对称性4.6.2n的全截镶嵌系列：
对称性 *n32（英语：Orbifold notation） [n,3]（英语：Coxeter notation）	球面镶嵌（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）				欧氏镶嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	紧凑双曲		仿紧双曲	非紧双曲
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
图像
顶点（英语：Vertex configuration）	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14（英语：Truncated triheptagonal tiling）	4.6.16（英语：Truncated trioctagonal tiling）	4.6.∞（英语：Truncated triapeirogonal tiling）	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
对偶
面（英语：Face configuration）	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

四角化菱形十二面体图

四角化菱形十二面体图
度分布	4 (12个) 6 (8个) 8 (6个)
顶点	26
边	72
半径	4[26]
直径	4[26]
围长	3
色数	3[26]
对偶图	大斜方截半立方体图
属性	平面, 可积（英语：Integral graph）

在图论的数学领域中，与四角化菱形十二面体相关的图为四角化菱形十二面体图（Disdyakis Dodecahedral Graph），是四角化菱形十二面体之边与顶点的图（英语：1-skeleton）^[26]，是一个阿基米德对偶图^[27]。

性质

四角化菱形十二面体图有72条边和26个顶点，其中度为4的顶点有12个、度为6的顶点有8个、度为8的顶点有6个。^[26]

其特征多项式为^[26]：

${\displaystyle {\left(x-4\right)}^{3}x^{4}{\left(x+2\right)}^{6}{\left(x^{2}-2\right)}^{5}{\left(x^{3}-26x-48\right)}}$

参见

• 星形四角化菱形十二面体
• 四角化菱形三十面体
• 卡塔兰立体
• 对偶多面体