埃尔德什-波温常数

埃尔德什-波温常数是所有梅森数的倒数之和。

埃尔德什-波温常数

识别
种类	无理数
符号	${\displaystyle E}$
位数数列编号	A065442
性质
定义	${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}}$
表示方式
值	1.60669515 ${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$ ${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$ ${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$ ${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$
二进制	1.100110110101000001011111…
八进制	1.466501374744176211033763…
十进制	1.606695152415291763783301…
十六进制	1.9B505F9E43F22437F372C528…

根据定义，它是：

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1.606695152415291763\dots }$

也可以写成以下的形式：

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

其中σ₀(n) = d(n)是因子函数，它是一个积性函数，是n的正因子的数目。

埃尔德什在1948年证明了E是一个无理数。

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 埃尔德什-波温常数. MathWorld.