填充维度

数学中 ，填充维度是一种可用于定义度量空间中子集之维度的概念。某种程度上，填充维度和郝斯多夫维度是对偶的，因为填充维度是利用“填充”给定的子集来定义，而郝斯多夫维度是利用“覆盖”给定的子集来定义。填充维度C.Tricot Jr.在1982年引入。

定义

设${\displaystyle (X,d)}$是度量空间且${\displaystyle S\subseteq X}$，那么对${\displaystyle s\geq 0}$，定义${\displaystyle S}$的${\displaystyle s}$维的填充前测度（packing pre-measure）为

${\displaystyle {\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\leq |\mathbb {N} |,\\{{\text{球}}\;\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing \;\forall i,j\in I},\\{\text{diam}}(B_{i})\leq \delta ,B_{i}{\text{ 的 圓 心 }}\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}}$

上式只是一个前测度，而非真正的测度，${\displaystyle S}$的${\displaystyle s}$维填充测度的定义是

${\displaystyle {\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},|J|\leq |N|\right\},}}$

即填充测度是其可数个覆盖的填充前测度和的最大下界。

如此一来，${\displaystyle S}$的填充维度定义为

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\right\}\\&=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}.\end{aligned}}}$

示例

以下示例是填充维度与郝斯多夫维度不相等最简单的情况。

${\displaystyle (a_{n})}$考虑序列${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$使得${\displaystyle a_{0}}$且${\textstyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$。定义一系列的紧致集${\textstyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$如下：

• 设${\textstyle E_{0}=[0,1]}$。
• 对每个${\textstyle E_{n}}$（${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$）的线段，去除中间长为${\textstyle a_{n}-2a_{n+1}}$的开区间，以得到两个长为长为${\textstyle a_{n+1}}$的闭区间。

现在定义${\textstyle K=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$。可以证明

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

容易知道对给定的数${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$，我们可以取序列${\displaystyle (a_{n})}$使得上面两个维度分别是${\textstyle d_{1},d_{2}}$。

参见

• 郝斯多夫维度
• 计盒维度

参考资料

• Tricot, Jr., Claude. Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119.