多格骨牌

多格骨牌（Polyomino），又称多连块、多连方、多方块或多连方块，是由全等正方形连成的图形，包括四格骨牌、五格骨牌、六格骨牌等，n格骨牌的个数为（镜射或旋转视作同一种）：

1, 1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, 17073, 63600, 238591, 901971, 3426576, 13079255, 50107909, 192622052, 742624232, 2870671950, ... （OEIS数列A000105）

除了n=0, 1, 2的显然易见的条件以外，只有n=5的时候才能用所有的n格骨牌填满一个长方形（见五格骨牌#长方形填充），n=3的情形显然无解，对n=4和n=6无解的证明需要使用肢解西洋棋盘问题的概念，而${\displaystyle n\geq 7}$时，n格骨牌中有些骨牌的中间有空洞，因此也无解。

12个五格骨牌形成一个8×8平方，删除中间的2x2平方

35个六格骨牌（两面），不考虑对称相同则有60个片面骨牌。^[1] 不同颜色代表不同对称性类型。

94个六格骨牌的密铺

列表

7种片面四格骨牌（${\displaystyle n}$ = 4）

12种両面五格骨牌（${\displaystyle n}$ = 5）。每个骨牌使用一个拉丁字母的字母。

多格骨牌有三种，以对称分类：

1. 自由（两面）骨牌（刚体）：平移、转动、反射、Glide reflection（英语：Glide reflection）；可以包括洞以及单连通（无洞）的骨牌
2. 一片面：平移、转动（不可反射）
3. 固定（有向）：平移（不可转动、不可反射）

${\displaystyle n}$	名称	两面（自由）[2]	片面（单边）[3]	有向（固定）[4]
1	一格骨牌	1	1	1
2	二格骨牌	1	1	2
3	三格骨牌	2	2	6
4	四格骨牌	5	7	19
5	五格骨牌	12	18	63
6	六格骨牌	35	60	216
7	七格骨牌	108	196	760
8	八格骨牌	369	704	2725
9	九格骨牌	1285	2500	9910
10	十格骨牌	4655	9189	36446
11	十一格骨牌	17073	33896	135268
12	十二格骨牌	63600	126759	505861
13	十三格骨牌	238591	476270	1903890
14	十四格骨牌	901971	1802312	7204874
15	十五格骨牌	3426576	6849777	27394666

计算算法

• 母函数
• 传递矩阵法^[5][6]，这使用统计力学的渗流理论（阅读文章，扩充内容）

渐近分析

参见：渐进分析

若A(n)是自由n格骨牌的总数，则有猜想说明

${\displaystyle A_{n}\sim c\lambda ^{n}/n}$

其中${\displaystyle c\approx 0.3169,\ \lambda \approx 4.0626}$。但是这个是未解决的问题，缺乏证明。^[7]

但是有证明表示A为指数增长^[8][9]（${\displaystyle 4.00253<\lambda <4.65}$）

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(A_{n})^{1/n}=\lambda }$

密铺

• 双体模型，使用二格骨牌密铺格子
• 康威准则
• 娱乐数学
• 王氏砖^[10]

这些问题有些是NP完全的，或与递归集合有关。

平面

任何少于或等于六格的骨牌都可以铺满整个平面，因为它们都满足康威准则，而在全部108种七格骨牌中，有101种满足康威准则，有104种可以铺满整个平面，另外4种（包括唯一一个中间有洞的那种）无法铺满整个平面，至于369种八格骨牌则有320种满足康威准则，有343种可以铺满整个平面；1285种九格骨牌中则有960种满足康威准则，有1050种可以铺满整个平面。

长方形

L骨牌有次数2

若需要至少n个多格骨牌P覆盖任何长方形（或矩形的格子），则n是P的次数（order）。若一个多格骨牌不可以覆盖（如Z形的四格骨牌），则其次数是未定义的。^[11][1][12]

可以使用11个六格骨牌密铺长方形

L形骨牌有次数2。^[13]

次数${\displaystyle 4n}$的骨牌存在（n是整数）。^[12]

次数3的骨牌不存在。^[14][12]

可不可以使用5、7或9个骨牌密铺一个长方形这个问题仍未解答。有次数2的骨牌P，可以使用11个P覆盖一个更大的长方形。^[15][1][12]

更大奇数次数的骨牌存在。^[16][17]

截至2020年，有两个未解决的问题：

• 奇数次数的多格骨牌存在吗？
• 若可以用n个骨牌密铺一个长方形，且n是奇数，最小的n为何？现在已知n最多为11。

谜题和游戏

• 有些数独#变体用多格骨牌
• 角斗士棋
• 俄罗斯方块

最小面积

若可以用骨牌A覆盖每个n格骨牌，则A是共同超形式（common superform、CS）。若A是共同超形式中面积最小的那个，则A是最小共同超形式（minimal common superform、MCS）。比如，五格骨牌的MCS是下面两个九格骨牌。无论P是哪一个五格骨牌，P都可以放在这两个骨牌里。^[1][12][18]

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参见

• 多连立方体
• 渗流理论^[19][20]
• 杨表
• 角斗士棋
• 多格形