大扭棱十二面截半二十面体

大扭棱十二面截半二十面体（great snub dodecicosidodecahedron）是一种星形均匀多面体，由80个正三角形和24个正五角星组成^[1]，索引为U₆₄，对偶多面体为大六角六十面体（英语：Great hexagonal hexecontahedron）^[2]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）^[3][1][4]，并且与扭棱二十面化截半大十二面体拓朴同构^[5]，同时可以视为是大二重斜方截半二十面体的刻面（英语：Faceting）多面体^[5]。

大扭棱十二面截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大六角六十面体（英语：Great hexagonal hexecontahedron）
识别
名称	大扭棱十二面截半二十面体 great snub dodecicosidodecahedron great snub dodekicosidodecahedron
参考索引	U64, C80, W115
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gisdid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 5/3 5/2 3
性质
面	104
边	180
顶点	60
欧拉特征数	F=104, E=180, V=60 （χ=-16）
组成与布局
面的种类	(20+60)个正三角形 (12+12)个正五角星
顶点图	3.3.3.5/2.3.5/3
对称性
对称群	Ih, [5,3]+, 532
图像
3.3.3.5/2.3.5/3 （顶点图） 大六角六十面体（英语：Great hexagonal hexecontahedron） （对偶多面体）

性质

大扭棱十二面截半二十面体共由104个面、180条边和60个顶点组成^[3]。在其104个面中，有80个正三角形面和24个正五角星面^[1]，当中的80个正三角形面可以分成20个一般的正三角形面和60个在扭棱变换过程所产生的正三角形面^[6]；其24个正五角星面可以分成12个一般的正五角星面（施莱夫利符号：{5/2}）和12个反向相接的正五角星面（施莱夫利符号：{5/3}）^[7]。在其60个顶点中，每个顶点都是2个正五角星面和4个正三角形面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以反向相接的正五角星、正三角形、正五角星、正三角形、正三角形和正三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/3.3.5/2.3.3.3)^[8]或(3.5/3.3.5/2.3.3)^[7][3]来表示。

表示法

大扭棱十二面截半二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[9]（s5/3s5/2s3*a）^[10]，在威佐夫记号中可以表示为| 5/3 5/2 3^[11][3]。

尺寸

若大扭棱十二面截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为2平方根的倒数^[5]或2平方根的一半：^[2][1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0.70710678}$

边长为单位长的大扭棱十二面截半二十面体，中分球半径为二分之一：^[1]

${\displaystyle R_{M}={\frac {1}{2}}=0.5}$

由于球体无法相切于大扭棱十二面截半二十面体所有面上，因此大扭棱十二面截半二十面体不存在内切球，但可以分别计算正三角形面之面相切球的半径与正五角星面之面相切球的半径。^[1]

边长为单位长的大扭棱十二面截半二十面体正三角形面之面相切球的半径为六的平方根（英语：Square root of 6）的六分之一：^[1]

${\displaystyle R_{}}$_{正三角形面}${\displaystyle \,={\frac {\sqrt {6}}{6}}\approx 0.40824829}$

边长为单位长的大扭棱十二面截半二十面体正五角星面之面相切球的半径为：^[1]

${\displaystyle R_{}}$_{正五角星面}${\displaystyle \,={\frac {\sqrt {10{\sqrt {5}}}}{10}}\approx 0.4728708045}$

二面角

大扭棱十二面截半二十面体共有三种二面角，分别为两种正五角星面和正三角形面的二面角以及一种正三角形面和正三角形面的二面角。^[1]

其中一种正五角星面和正三角形面的二面角角度约为16.3度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}+4{\sqrt {5\left({\sqrt {5}}-2\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.2845528927\approx 16.303679801^{\circ }}$

而另一种正五角星面和正三角形面的二面角角度约为125.77度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}-4{\sqrt {5\left({\sqrt {5}}-2\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.19518612896\approx 125.7749004353^{\circ }}$

另外一种二面角为正三角形面和正三角形面的二面角，其角度为负三分之一的反馀弦值，约为109.47度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.910633236249\approx 109.471220634^{\circ }}$

相关多面体

大扭棱十二面截半二十面体与大二重斜方截半二十面体共用相同的顶点、边、20个正三角形面和其所有的五角星面^[5]，大扭棱十二面截半二十面体也与大二重扭棱二重斜方十二面体共用60个正三角形面。

其也与二十复合八面体（英语：Compound of twenty octahedra）共用相同的边布局。此外，大扭棱十二面截半二十面体也与二十复合四面半六面体（英语：Compound of twenty tetrahemihexahedra）的其中一个手性对应体共用20个正三角形面，另外60个正三角形面出现在另一个对映体中。

凸包	大扭棱十二面截半二十面体	大二重斜方截半二十面体
大二重扭棱二重斜方十二面体	二十复合八面体（英语：Compound of twenty octahedra）	二十复合四面半六面体（英语：Compound of twenty tetrahemihexahedra）

图像

传统填充

相交偶数次为外部

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）