奢侈数

奢侈数（英语：Extravagant number）也称为浪费数（英语：Wasteful number），是指一正整数质因数分解（包括指数）的总位数大于整数本身的位数^[1]。例如在十进位中，4 = 2²，6 = 2×3，8 = 2³，9 = 3²，质因数分解的总位数都比整数位数多，因此都是奢侈数。

前几个奢侈数为：

4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100（OEIS数列A046760）

任何进制下都可以定义奢侈数，例如二进制下的4，二进制表示为100₍₂₎=10₍₂₎^10₍₂₎，质因数分解的总位数为四位数，本身三位数，因此是奢侈数。

不论在哪一种进制，都存在无限多个奢侈数^[1]。

奢侈数是数学家贝尔纳多·雷卡曼·桑托斯（西班牙语：Bernardo Recam´Santos）在1995年提出的^[2]。

数学定义

令${\displaystyle b>1}$为进制的数字，${\displaystyle K_{b}(n)=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ 为自然数${\displaystyle n}$在${\displaystyle b}$进制下的位数。自然数${\displaystyle n}$的质数分解为n

${\displaystyle n=\prod _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}}$

其中${\displaystyle v_{p}(n)}$是${\displaystyle n}$的P进赋值，则${\displaystyle n}$在${\displaystyle b}$进制下为奢侈数，若

${\displaystyle K_{b}(n)<\sum _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(p)+\sum _{\stackrel {p^{2}\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(v_{p}(n)).}$

相关条目

• 等数位数：质因数分解（包括指数）总位数等于整数本身位数的正整数。
• 节俭数：质因数分解（包括指数）总位数小于整数本身位数的正整数。