对偶范数

对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义

对偶空间

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给定一个系数域为${\displaystyle \mathbb {F} }$赋范向量空间（比如说一个巴拿赫空间）E（其中${\displaystyle \mathbb {F} }$通常是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$或复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$），所有从E到${\displaystyle \mathbb {F} }$上的连续线性映射（也称为连续线性泛函）的集合称为E的（连续）对偶空间，记作：E' .

对偶范数

可以证明，E′是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（${\displaystyle \|\cdot \|'}$）是一种自然的范数定义方式，定义为：

${\displaystyle \forall f\in E',\;\;\|f\|'=\sup \left\{|f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\right\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}};x\neq 0\right\}}$

由于E′中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数后，E′成为一个赋范线性空间。可以证明，E′在对偶范数下必然是完备的，所以E′是巴拿赫空间。

证明：

给定一个由E′中元素构成的柯西序列：${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，其中每一个${\displaystyle f_{n}}$都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知，

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\;\;\exists N\in \mathbb {N} ,}$ 使得${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}$

所以对E中任何元素x，都有：

${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.}$

这说明${\displaystyle \left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }}$是柯西数列，因而收敛：数列的极限存在。定义函数${\displaystyle f:\;\;E\rightarrow \mathbb {F} }$如下：

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

这样定义的函数f 是连续线性泛函，属于E′。事实上：

1. f 是线性映射：

   ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,}$

   ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).}$

2. f 是连续映射：

   将${\displaystyle \epsilon }$定为1，则存在${\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} }$，使得${\displaystyle \forall n>N_{1}}$，都有${\displaystyle \|f_{n}-f_{N_{1}}\|'<1}$，这说明：

   ${\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;\|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}$ 因此，${\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;x\in E,\;\;\|x\|<1,}$ 都有${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.}$

   当${\displaystyle n}$趋向无穷大时，就有：${\displaystyle |f(x)|\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1}$。这说明f 是连续映射。

最后证明f 是序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$在对偶范数下的极限：

给定${\displaystyle \epsilon >0}$，总能找到${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得：

${\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon ,}$ 所以，${\displaystyle \forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .}$

当${\displaystyle m}$趋向无穷大时，就有：${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .}$

因此，${\displaystyle \forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .}$

这说明序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。

例子

给定两个大于1的实数p和q。如果两者满足：${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$，那么序列空间${\displaystyle \ell ^{p}}$和${\displaystyle \ell ^{q}}$互相是对偶空间（在同构的意义上）。${\displaystyle \ell ^{p}}$装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的${\displaystyle \ell ^{q}}$建立等距同构。当${\displaystyle p=q=2}$时，以上性质说明，${\displaystyle \ell ^{2}}$和自身对偶。

参见

参考来源