对数凸函数

对数凸函数^{[注解 1]}或超凸函数^[1]是指一函数f，其 ${\displaystyle {\log }\circ f}$（函数f取对数后的数值）仍为凸函数，其原函数即为对数凸函数。

定义

令X是实数向量空间内的凸集，令f : X → R为非负值的函数。则f为：

• 对数凸函数若${\displaystyle {\log }\circ f}$为凸函数，
• 严格对数凸函数若${\displaystyle {\log }\circ f}$严格凸函数。

此处视${\displaystyle \log 0}$为${\displaystyle -\infty }$。

明显可看出，f为对数凸函数若且唯若，针对所有x₁, x₂ ∈ X，以及所有t ∈ [0, 1]，以下二个等效的条件会成立：

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

而f是严格对数凸函数若且唯若，在上述二个式子中，的小于等于都改为小于，在t ∈ (0, 1)范围内都成立。

以上定义允许f等于零，但若f是对数凸函数，且在X内的任一处为零，则f需在X内部的所有位置都要为零。

等效条件

若f在定义在I ⊆ R区间的可微函数，则f为对数凸函数。若且唯若下式在所有I内的x和y都成立：

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

这和以下条件等效，只要x和y在I内，且x > y，则下式成立：

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

而且f是严格对数凸函数若且唯若上述的不等式中，均为严格的不等式。

若f是二次可微，则其为对数凸函数若且唯若，针对所有在I内的x，

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

若上述的不等式是严格不等式，则f是严格对数凸函数。不过，其反例不成立。有可能f是严格对数凸函数，且针对一些x，可以找到${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$。例如，若${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$，则f是严格对数凸函数，但${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$。

${\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}$为对数凸函数，若且唯若${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$ 在所有${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$内都是凸函数^[2][3]。

充份条件

若${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$为对数凸函数，且${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$为非负实数，则${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$为对数凸函数。

若${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$是一个对数凸函数的族，则${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$是对数凸函数。

若${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$是凸函数，且${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$是非递减的对数凸函数，则${\displaystyle g\circ f}$是对数凸函数。

性质

对数函数会大幅降低函数成长的速率，因此若取对数后仍为凸函数，表示函数上升的速度比凸函数还快，因此会称为超凸函数。

对数凸函数f 本身是凸函数，因为这是递增凸函数${\displaystyle \exp }$及${\displaystyle \log \circ f}$（依定义是凸函数）的复合函数。但凸函数和对数的复合函数不一定都是凸函数。像${\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}$是凸函数，但${\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}$不是凸函数，因此${\displaystyle g}$不是对数凸函数。另一方面，${\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}$是对数凸函数，因为${\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}$是凸函数。

例子

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$是对数凸函数，若${\displaystyle p\geq 1}$，若${\displaystyle p>1}$，函数是严格对数凸函数。
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$，针对所有的${\displaystyle p>0.}$，在${\displaystyle (0,\infty )}$范围内，是严格对数凸函数。
• 正数上的Γ函数是对数凸函数。（参见波尔-莫勒鲁普定理（英语：Bohr–Mollerup theorem））。