巴恩斯积分

巴恩斯积分（英语：Barnes integral），由英国数学家欧内斯特·巴恩斯（英语：Ernest Barnes）所推导而得，涉及Γ函数乘积的周回（日语：周回積分）积分运算，研究复分析的工具，因芬兰数学家亚尔马·梅林的部份贡献，又称“梅林－巴恩斯积分”，与广义超几何函数高度相关。

Barnes Integral 3D

Barnes Integral density plot

定义如下：^[1]

${\displaystyle B(\sigma ,\mu )={\frac {\Gamma (\sigma /2+1)*\Gamma (\sigma /2+1)}{2^{\mu +1}*\Gamma (\sigma /2-v/2+\mu /2+1)*\Gamma (\sigma /2+v/2+\mu /2+3/2)}}}$

超几何函数

已知超几何函数时，巴恩斯积分如下而得^[2]

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds.}$