布尼亚科夫斯基猜想

布尼亚科夫斯基猜想是由俄罗斯数学家维克托·布尼亚科夫斯基（英语：Viktor Bunyakovsky）于1857年提出的观点，以判定单变数的整系数多项式${\displaystyle f(x)}$的序列中是否会出现无限个质数。以下三个条件是${\displaystyle f(x)}$满足前述造出无限质数的必要条件：

1. 首项系数为正，
2. 多项式在整数上是不可约的，
3. ${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\dots }$的公因数为${\displaystyle 1}$。

而布尼亚科夫斯基猜想这些条件就足够了：也就是说如果${\displaystyle f(x)}$满足前面3点条件，则存在无限多个正整数${\displaystyle n}$使${\displaystyle f(n)}$是质数。

三个条件的讨论

第一个条件是必要的，因为如果首项系数是负的那么对所有够大的${\displaystyle x}$都有${\displaystyle f(x)<0}$，特别的，对够大的正整数${\displaystyle n}$都有${\displaystyle f(n)}$是负数，从而非质数。（这里需要有素数为正的约定。 ）

第二个条件是必要的，因为如果${\displaystyle f(x)=g(x)\times h(x)}$，其中${\displaystyle g(x)}$，${\displaystyle h(x)}$都是整系数多项式，那么由于${\displaystyle g(x)}$和${\displaystyle h(x)}$都只能有限次的等于-1，0，1，因此${\displaystyle f(x)}$都有可能会是合数。

第三个条件是必要的，这也是显而易见的。

参见

• X²+1质数
• 狄利克雷定理
• 狄克森猜想
• 欣策尔假设H