布罗卡问题

提示：此条目的主题不是布罗卡猜想。

布罗卡问题（英语：Brocard's problem）是数学中的一个问题，旨在寻找使 ${\displaystyle n!+1}$ 成为完全平方数的整数 ${\displaystyle n}$ ，其中 ${\displaystyle n!}$ 表示阶乘。目前仅知三组解：4、5、7，且尚不清楚是否存在更多解。

更正式地说，它寻找整数对 ${\displaystyle n}$ 和 ${\displaystyle m}$，使得$${\displaystyle n!+1=m^{2}}$$

该问题由亨利·布罗卡于1876年与1885年的两篇论文中提出^[1][2]，并于1913年由斯里尼瓦瑟·拉马努金独立提出^[3]。

布朗数

解决布罗卡问题的数对 ${\displaystyle (n,m)}$ 由柯利弗德·皮寇弗于1995年著作《通往无限的钥匙》（Keys to Infinity）中命名为布朗数（Brown numbers），此命名源于他从凯文·S·布朗（Kevin S. Brown）处获悉该问题^[4]。截至2022年10月，目前仅知有三组布朗数：

$${\displaystyle (4,5),\;(5,11),\;(7,71)}$$

基于下列等式

$${\displaystyle 4!+1=5^{2}=25}$$ $${\displaystyle 5!+1=11^{2}=121}$$ $${\displaystyle 7!+1=71^{2}=5041}$$

艾狄胥·帕尔推测不存在其他解法^[5]。计算搜索已进行至一兆次，仍未发现更多解法^[6][7][8]。

与abc猜想的关联

若abc猜想成立，则布朗数仅有有限个^[9]。更普遍而言，abc猜想亦将推导出： $${\displaystyle n!+A=k^{2}}$$ 对于任何给定的整数 ${\displaystyle A}$，其解数目仅为有限个^[10]，且 $${\displaystyle n!=P(x)}$$ 对于任何给定的整系数多项式 ${\displaystyle P(x)}$，其次数至少为2时，仅存在有限个整数解。