布里渊函数和郎之万函数

布里渊函数和郎之万函数（Brillouin and Langevin functions）是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数。

布里渊函数

布里渊函数^[1][2]形式为：

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

其中，${\displaystyle x}$ 为实数，${\displaystyle J}$ 为正整数或半整数，函数的值域为从-1（${\displaystyle x\to -\infty }$）到1（${\displaystyle x\to +\infty }$）。

布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度${\displaystyle M}$ 与外加 磁场 ${\displaystyle B}$ 、材料微观磁矩的 总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出：^[1]

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)}$

其中，${\displaystyle N}$ 单位体积内原子的数目，${\displaystyle g}$ 为g因数（英语：g-factor (physics)），${\displaystyle \mu _{B}}$为玻尔磁子，${\displaystyle x}$ 为外场中磁矩的塞曼能（英语：Zeeman energy）与无规热能 ${\displaystyle k_{B}T}$之比：

${\displaystyle x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}}$

其中，${\displaystyle k_{B}}$ 为 波尔兹曼常数， ${\displaystyle T}$ 为绝对温度。

郎之万函数

郎之万函数 (红线) 与 ${\displaystyle \tanh(x/3)}$ (蓝线)。

在经典极限，磁矩可以连续地沿外场取向，${\displaystyle J\to \infty }$，布里渊函数可以化简为郎之万函数，形式为：

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

在高分子物理学中，受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述：^[3]

${\displaystyle <R>=bN\left(\coth(fb/k_{B}T)-{\frac {1}{fb/k_{B}T}}\right)}$

其中，${\displaystyle b}$为 库恩长度，${\displaystyle N}$为高分子链长，${\displaystyle f}$为施加在链末端的外力。

当x为小量时，郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似：

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots }$

郎之万函数还可以由以下连分式近似：

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}$

郎之万函数的逆函数可由下式近似：^[4]

${\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}},}$

其中，x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时，一个更好的近似为：

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7})}$

郎之万逆函数的泰勒级数为：^[5]

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots }$

高温极限

当 ${\displaystyle x\ll 1}$ 时，即${\displaystyle \mu _{B}B/k_{B}T}$ 很小，磁矩可以由居里定律近似：

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}$

其中 ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}}$ 为常数， ${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$ 为有效波尔磁子数目。

强场极限

当 ${\displaystyle x\to \infty }$，布里渊函数的值趋于 1，材料的磁化强度饱和，磁矩的取向完全沿外场方向，于是有

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J}$