布隆斯公式

布隆斯公式（英语：Bruns formula），也称布隆斯方程，^[1]是大地测量学中用于描述大地水准面高、扰动位和正常重力的关系式，^[2]:85由德国大地测量学家海因里希·布隆斯于1878年提出。^[3]

数学表达

设大地水准面有一点 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ，其沿法线投影到参考椭球面上的点为 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$，则 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 点处的大地水准面高 ${\displaystyle N}$ 即为两点之间的距离 。又设 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 点处的扰动位为 ${\displaystyle T}$，计算得的 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 点处的正常重力为 ${\displaystyle \gamma }$，则布隆斯公式可表达为：^[2]:85

${\displaystyle N={\frac {T}{\gamma }}}$

在实际使用过程中，为简化计算，在不影响精度的情况下上式的 ${\displaystyle \gamma }$ 可以用正常重力的平均值 ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$ 代替。^[4]:245

推导过程

由于参考椭球面的正常重力位 ${\displaystyle U}$ 被定义成与其所对应的大地水准面的重力位 ${\displaystyle W_{0}}$ 相等，大地水准面上的点 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 及其在参考椭球面上的投影 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 的重力位存在如下关系：^[2]:82

${\displaystyle W_{P}=U_{Q}=W_{0}}$

重力位 ${\displaystyle W_{P}}$ 又可被分作正常重力位 ${\displaystyle U_{P}}$ 和扰动位 ${\displaystyle T}$ 两部分，即：^[2]:82

${\displaystyle W_{P}=U_{P}+T}$

则扰动位 ${\displaystyle T}$ 可表示成点 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 和点 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 的正常重力位之差，并进一步表示为点 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 处正常重力的偏导数：^[2]:84

${\displaystyle T=U_{Q}-U_{P}=-{({\partial U \over \partial n})}_{Q}N=\gamma N}$

上式中 ${\displaystyle n}$ 为参考椭球面的法线方向（也即大地水准面高 ${\displaystyle N}$ 的方向）。正常重力 ${\displaystyle \gamma }$ 的正向向下，因此符号为负。将上式变形即得：

${\displaystyle N={\frac {T}{\gamma }}}$

参见

• 广义布隆斯方程
• 重力测量基本微分方程