布灵根式

布灵根式（英语：Bring radical）或是超根式（英语：ultraradical）是代数术语。布灵根式不是一般意义下的根式（n次方根，或“单位根”），复数a的布灵根式可以用${\displaystyle \mathrm {BR} (a)}$表示，是指以下五次方程的解

${\displaystyle x^{5}+x+a=0\,}$

实系数下布灵根式的图

对应一复数a的布灵根式，是上述方程式五个解中的一个（因此是多值函数）一般会选择布灵根式的根，使得实数的布灵根式为正值，而且在实数线附近可解析。布灵根式在复平面上有四个分支点（英语：branch point），因此无法定义为复数平面上的连续函数，其连续域需要排除其分支切割（英语：branch cut）。

布灵根式是由厄兰·塞缪尔·布灵（英语：Erland Samuel Bring）发明的，乔治·杰拉德（英语：George Jerrard）证明有些五次方程可以用n次方根及布灵根式求解，因此可以用在一些五次方程的闭合形式解中。

此条目中。a的布灵根式表示为${\displaystyle \operatorname {BR} (a).}$。若a是实数，此函数是奇函数、单调递减且无界，在${\displaystyle a}$很大时，其渐近行为${\displaystyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}}$。

级数表示

布灵根式的泰勒级数，以及以广义超几何函数的表示式可以用以下方式推导。方程${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$可以写成${\displaystyle x^{5}+x=-a.}$，若令${\displaystyle f(x)=x^{5}+x}$，想要的解是${\displaystyle x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)}$，因为${\displaystyle f(x)}$是奇函数。

${\displaystyle f^{-1}}$的级数可以用${\displaystyle f(x)}$泰勒级数（就是${\displaystyle x+x^{5}}$）的反算（英语：Lagrange inversion theorem）来得，令

$${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}$$

其中系数的绝对值形成整数数列线上大全中的A002294。数列的收敛半径为${\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.}$。

布灵根式的超几何函数形式可以写成^[1]： $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}$$

相关条目

• 方程理论