布鲁薛-培根检定

在统计学中，布鲁薛－培根检验^[1]（英语：Breusch–Pagan test，Breusch-Pagan检验，常简称BP检验）是1979年由布伦斯（英语：Trevor Breusch）和帕甘（英语：Adrian Pagan）提出的方法^[2]，用来检验线性回归模型中是否存在异方差的问题。另外，丹尼斯·库克（英语：R. Dennis Cook）和韦斯伯格在1983年独立地提出了类似的方法^[3]。异方差的存在意味着模型的方差与自变量是相关的。

设回归模型为

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x+u,\,}$

对其进行回归可以得到一组残差${\displaystyle {\widehat {u}}}$。普通最小二乘法要求方差与自变量无关，这时方差可以由残差平方和的平均值估计得到。但如果这个前提不成立，例如方差与自变量线性相关，就可以通过下列辅助回归，即残差平方对自变量进行回归检验出来：

${\displaystyle {\widehat {u}}^{2}=\gamma _{0}+\gamma _{1}x+v.\,}$

这就是BP检验的一个情形。它实质上是卡方检验，检验统计量渐进于${\displaystyle n\chi ^{2}}$，自由度与除常数项外的解释变量数相等。如果得到的p值小于一定阈值（如0.05）就可以拒绝零假设并认为异方差存在。

如果BP检验表明存在异方差存在，可以视情况使用加权最小二乘法（英语：weighted least squares）（适用于异方差的分布已知时）或异方差稳健标准误（英语：heteroscedasticity-consistent standard errors）方法。

流程

根据高斯-马尔可夫定理，在同方差的前提下，普通最小二乘估计是最佳的线性无偏估计，意即其方差相较其他任何估计量都更小。如果异方差存在，估计结果仍是无偏的，但其方差并不是最小的。在决定使用哪种估计方法之前，可以先进行BP测试来判断是否存在异方差。BP检验的前提是方差${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=h(x_{i}^{T}\gamma )}$与各个自变量有关，其中${\displaystyle x_{i}=(1,x_{2i},\ldots ,x_{pi})}$是自变量，这里除去常数项以外共有${\displaystyle p-1}$个解释变量。零假设亦即异方差不存在等价于${\displaystyle (p-1)}$个约束：

${\displaystyle \gamma _{2}=\cdots =\gamma _{p}=0.}$

BP测试分为以下三个步骤：^[4]

• 第一步：对原始模型进行普通最小二乘估计

${\displaystyle y=X\beta +\varepsilon }$

并对每个观测都计算出残差${\displaystyle e_{i}}$。

• 第二步：进行下列辅助回归

${\displaystyle e_{i}^{2}=\gamma _{1}+\gamma _{2}x_{2i}+\cdots +\gamma _{p}x_{pi}+\eta _{i}}$

• 第三步：检验统计量LM等于第二步中辅助回归的决定系数乘以样本大小${\displaystyle n}$：

${\displaystyle {\text{LM}}=nR^{2}\,.}$

如果同方差的零假设成立，LM统计量是渐进于${\displaystyle \chi _{p-1}^{2}}$分布的^[5]。

软件实现

在R语言中，能够完成BP检验的函数包括car包中的ncvTest函数^[6]、lmtest包中的bptest函数^[7][8]以及plm包中的plmtest函数^[9]等。

而Stata中计算回归后使用estat hettest命令，参数填写所有独立变量，即可进行BP检验^[10][11]。

在Python中，statsmodels.stats.diagnostic（statsmodels包）中的函数het_breuschpagan可进行BP检验^[12]。

参见

• 怀特检验（英语：White test）