库拉托夫斯基十四集问题

在点集拓扑学中，库拉托夫斯基十四集问题叙述是：给定拓朴空间的子集${\displaystyle S}$，对${\displaystyle S}$做任意有限次数的取补集或闭包，最多可以得到几个不同的集合？

本问题又被称作闭包补集问题，由库拉托夫斯基于1922年提出，并给出了解答 14^[1] 。约翰·L·凯利撰写的拓朴学经典教科书 General Topology 将库拉托夫斯基十四集问题收录做为一题习题^[2]，使得本问题在往后的 30 年间被许多人所熟知。

证明

对所有子集${\displaystyle A}$，将${\displaystyle A}$的补集记为${\displaystyle A^{/}}$，闭包记为${\displaystyle A^{-}}$，则有以下 3 件事实

1. ${\displaystyle A^{//}=A}$ (取补集是对合的)
2. ${\displaystyle A^{--}=A^{-}}$ (取闭包是幂等的)
3. ${\displaystyle A^{/-/-/-/-}=A^{/-/-}}$ (或等价的${\displaystyle A^{-/-/-/-}=A^{-/-}}$，等价性来自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考虑以下两个序列就足够了

${\displaystyle S^{/},S^{/-},S^{/-/},S^{/-/-},S^{/-/-/},...}$ 及 ${\displaystyle S^{-},S^{-/},S^{-/-},S^{-/-/},S^{-/-/-},...}$

再由 3. 知，最多只会有 14 个相异集合。

若对${\displaystyle S}$取补集或闭包可以产生恰好 14 个相异集合，则称${\displaystyle S}$是个 14-集。事实上，实数空间 ${\displaystyle \mathbb {R} }$与一般实数上的拓朴，形成的拓朴空间就有包含 14-集，例如

${\displaystyle (0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},}$

其中 ( , ) 和 [ , ] 分别代表开区间和闭区间。

其他结果

1962 年 T.A. Chapman 发现，对${\displaystyle S}$做任意有限次数的取内部或闭包，则最多可以得到 7 几个不同的集合。证明仍然化约到讨论下面的两个序列

${\displaystyle S^{0},S^{0-},S^{0-0},S^{0-0-},S^{0-0-0},...}$ 及 ${\displaystyle S^{-},S^{-0},S^{-0-},S^{-0-0},S^{-0-0-},...}$

其中，${\displaystyle A^{0}}$代表${\displaystyle A}$的内部。

代数结构

虽然问题是属于点集拓朴学，但是出乎意料的，它的性质却比较代数，而非拓朴。1960 年代，类似概念的问题不断被提出，然而大部分却已经跟拓朴本身不太有关系了^[3]。

此外，取闭集或补集的运算定义了一个幺半群，可以用来对不同拓朴空间做分类^[4]。