弗雷德霍姆定理

弗雷德霍姆定理是数学家埃里克·伊瓦尔·弗雷德霍姆在探讨积分方程的弗雷德霍姆理论（英语：Fredholm theory）里的一些定理。这些定理彼此相关，会用积分方程、线性代数、巴拿赫空间上的弗雷德霍姆算子（英语：Fredholm operator）表示。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
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弗雷德霍姆择一定理（英语：Fredholm alternative）也和弗雷德霍姆定理有关。

线性代数下

线性代数的弗雷德霍姆定理如下：若M是矩阵，则M之行空间的正交补即为M的核：

${\displaystyle (\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M.}$

而M之列空间的正交补即为M伴随矩阵的核：

${\displaystyle (\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}.}$

积分方程

积分方程的弗雷德霍姆定理如下：令${\displaystyle K(x,y)}$是积分变换，考虑以下齐次多项式

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)}$

以及其复数伴随（complex adjoint）

${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).}$

其中${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$是复数 ${\displaystyle \lambda }$的共轭复数，${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$也是类似概念。则，弗雷德霍姆定理是指，针对任何固定值的${\displaystyle \lambda }$，这些方程可能有平凡解${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$，不然就会有个数相同的线性无关解${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$, ${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$.

此定理的充份条件是${\displaystyle K(x,y)}$要在矩形区间${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$（其中a和/或b可以是正负无限大）内是平方可积函数。

此处，积分表示为在实数线上的一维积分。在弗雷德霍姆理论（英语：Fredholm theory）中会将此结果扩展到多维空间（例如黎曼流形）中的积分算子。

解的存在性

有一个弗雷德霍姆定理和弗雷德霍姆择一定理（英语：Fredholm alternative）紧密相关，是有关以下非齐次弗雷德霍姆方程（英语：Fredholm equation）的解是否存在

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).}$

此方程的解存在，若且唯若函数${\displaystyle f(x)}$和以下对应齐次伴随方程的完整解集${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}}$正交：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0}$

其中${\displaystyle {\overline {\psi _{n}(x)}}}$是${\displaystyle \psi _{n}(x)}$的共轭复数，前者属于以下方程的完整解集

${\displaystyle \lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.}$

此定理的充份条件是：${\displaystyle K(x,y)}$在矩形区域${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$内是平方可积函数

参考资料

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) pp. 365–390.
• 埃里克·韦斯坦因. Fredholm's Theorem. MathWorld.
• B.V. Khvedelidze, Fredholm theorems, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）