当德兰-格拉夫方法

当德兰-格拉夫方法（英语：Graeffe’s method；德语：Dandelin-Gräffe-Verfahren）是求多项式根的数值方法之一，由几位18世纪数学家Karl Heinrich Gräffe、Germinal Pierre Dandelin和罗巴切夫斯基分别独立提出。

设欲解的方程为${\displaystyle p(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})}$

${\displaystyle p(-x)=(-1)^{n}(x+x_{1})(x+x_{2})...(x+x_{n})}$

${\displaystyle p_{2}(x^{2})=p(x)p(-x)=(-1)^{n}(x^{2}-x_{1}^{2})(x^{2}-x_{2}^{2})...(x^{2}-x_{n}^{2})}$

重复类似的步骤${\displaystyle k}$次，可得以${\displaystyle x_{1}^{2^{k}},x_{2}^{2^{k}}...\,\!}$为根的方程${\displaystyle q}$，设${\displaystyle y=x^{2^{k}}\,\!}$。

${\displaystyle q(y)=y^{n}+a_{1}y^{n-1}+...+a_{n}}$

根据韦达定理：

${\displaystyle a_{1}=-(y_{1}+y_{2}+...+y_{n})}$

${\displaystyle a_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+...+y_{n-1}y_{n}}$

...

若经过多次自乘后，这些根相差得足够大，使得：

${\displaystyle a_{1}\approx -y_{1}}$

${\displaystyle a_{2}\approx y_{1}y_{2}}$

...

对每个${\displaystyle y_{i}}$求${\displaystyle 2^{k}}$次根便可求得${\displaystyle p(x)}$的根。

这个方法有缺点包括：

• 经过数次的步骤，双倍精确数目可能也不足以储存要用到的数值，误差颇大。
• 如果有复数根或重根就更繁复。

外部链接

• Tangent Graeffe Iteration