彭纳投影

彭纳投影，又称等积准圆锥投影，有时也被称为“战争档案投影”（Dépôt de la Guerre projection）或“西尔维纳斯投影”（Sylvanus projection）^[1]:104。该投影法的命名来自常常使用该方法的法国水利工程师里戈贝勒特·彭纳(Rigobert Bonne)。

彭纳投影,以北纬四十五度纬线为标准纬线，能看到欧亚大陆变形较小，而远离该纬线的非洲、南美洲、大洋洲变形较大

该投影法的纬线为同心圆弧，圆心位于中央经线上，同一圆弧上两点的距离经比例尺换算后与实际距离相等；中心经线以及一根特殊的标准纬线保持为直线，其余经线为对称于中央经线的曲线。通过变更中心经线，可以绘制不同的映射地图。

彭纳投影中的面积与实际面积相等，没有面积变形；中央经线及标准纬线没有变形，离这两条线越远，变形越大，故全尺寸的彭纳投影地图是一个复杂的心形图案，适用于"T"形区域。所以现在彭纳投影多用于编制小比例尺的大洲图，比如欧亚大陆。

换算

1511年西尔维纳斯绘制的地图

彭纳投影定义为：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin E\\y&=\cot \varphi _{1}-\rho \cos E\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\cot \varphi _{1}+\varphi _{1}-\varphi \\E&={\frac {(\lambda -\lambda _{0})\cos \varphi }{\rho }}\end{aligned}}}$

此处φ为纬度，λ为经度，λ₀是所选取的中央经线的经度，而φ₁是所选取的标准纬线的纬度^[2]

反投影关系为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\cot \varphi _{1}+\varphi _{1}-\rho \\\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {\rho }{\cos \varphi }}\arctan \left({\frac {x}{\cot \varphi _{1}-y}}\right)\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+\left(\cot \varphi _{1}-y\right)^{2}}}}$

taking the sign of φ₁.

特殊的彭纳投影包括正弦投影（φ₁=0，即赤道）和维尔纳投影（φ₁=90°即南极或北极)。所以彭纳投影可以看作是维尔纳投影向正弦投影展开中的一系列中间投影^[3]