快度

在相对论中，快度通常被用来衡量相对论效应下的速度。在数学上，快度可以被定义成一个双曲角，这个角能够反映两个存在相对运动的参考座标系之间的差异——它们的时空坐标为洛仑兹变换所联系。

对于一维运动，快度可以简单相加，而速度必须套用爱因斯坦的速度加成式。在低速的情况下，快度和速度是成比例的，但是对于更高速的状况下，快度将增长得更快。特别地，光的速度为光速，而光的快度是无限大。

我们使用反双曲函数artanh来定义快度，当速度为v时，其对应的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度较慢时，w约为v / c。由于在相对论中，速度v被局限于区间−c < v < c，因此比率v / c将满足−1 < v / c < 1。反双曲正切函数的定义域为(−1, 1)，而值域为整条实数线，所以可以将区间−c < v < c映射到−∞ < w < ∞。

历史

在1908年赫尔曼·闵考斯基指出劳伦兹转换可以被简单的转换为座标时中的双曲旋转（英语：hyperbolic rotation），即为一个虚数角度的旋转。^[1] 这个角度在一维空间中可以代表著座标系间速度的度量，且具有可加性。^[2]

1910年，弗拉基米尔·瓦里卡克（英语：Vladimir Varićak）^[3]和E. T. 惠特克^[4]提出用此参数来取代速度的观念。而这个参数被阿尔弗雷德·罗伯（英语：Alfred Robb） (1911)^[5]命名为快度，并随后被许多笔者所采用，如卢迪威格·席柏斯坦 (1914)，爱德华·莫立 (1936)和沃夫冈·润德勒 (2001)。

双曲线扇形面积

双曲函数xy=1的求积法（英语：quadrature (mathematics)），是由格雷瓜尔·德·圣-文森特（英语：Gregoire de Saint-Vincent）提出的，他指出双曲扇形的面积、或是一块沿著渐进线所定义出的等效面积，可以用自然对数描述。 在时空理论中，类光事件将宇宙分为相对于给定“位置”和“时刻”的“（绝对）过去”、“（绝对）未来”和其他时空点。在空间中的任何一条线上，一道光束的行进方向可以向左或是向右。将向右行进的光束事件定为x轴，向左行进的光束事件定为y轴。则静止座标系的时间轴即为对角线x = y。而速度可以用第一象限中的直角双曲线xy = 1来表示，其中速度为零的点对应到点${\displaystyle (1,1)}$。任何一个双曲线上的点都能以点${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ 表示，其中的w即为快度，同时w也是从点${\displaystyle (1,1)}$ 到点${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$与原点所构成的双曲线扇形面积。 也有许多笔者在讨论标准闵考斯基图时，会使用单位双曲线${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$，将快度作为参数曲线的参数。而此时的坐标可以用时钟和米尺来测量，并选用更加常见的基准，这也是时空理论的基础。所以快度作为光束空间的双曲参数，这样的描述是参考了十七世纪时超越函数理论的发展，以及闵考斯基图。

在一维空间中

快度w出现在劳伦兹变换的线性表示法中，此时劳伦兹变换被表示为向量－矩阵乘积

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}$

矩阵Λ(w)为${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$的形式，其中p和q满足关系p² - q² = 1，因此(p, q)将会落在单位双曲线（英语：unit hyperbola）上。这样的矩阵形成了不定正交群 O(1,1)，伴随著由单位反对角矩阵所张出的一维李代数，显示出快度是这个李代数上的座标，这个作用可在闵考斯基图上被描绘出来。 在矩阵指数表示法中，Λ(w)可以被表示为${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$，其中Z是矩阵

${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

不难证明

${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})}$

这显现出了快度实用的求和性质：若A，B和 C为参考座标系，则

${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}$

其中 w_PQ 表示了参考座标系Q相对于参考座标系P的快度。与速度加成式相比，这个式子更为简洁。

我们可以从上述的劳伦兹转换看出，劳伦兹因子等同于cosh w

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w}$

因此快度w作为一个双曲角，隐含在劳伦兹转换中的γ和β中。我们将快度与速度加成式联系在一起

${\displaystyle u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})}$

借由

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$

从而得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}}$

β和γ的乘积时常出现，从先前的讨论可知

${\displaystyle \beta \gamma =\sinh w\,}$

固有加速度（一个加速物体实质感受到的加速度）是快度对于固有时间（一个加速物体本身所量测到的时间）的变化率。假想在物体的运动过程中，与加速中的物体保持相对静止的一系列“非物理的”参考系，若在这个非物理的惯性系中非相对论性地计算物体的速度，则计算结果将是这个物体的快度。

指数和对数关系

由上述的表达式可以得到

${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}}$

因此

${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}}$

或是更加清楚地表示为

${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,}$

相对论性都普勒效应因子与快度w的关系为${\displaystyle k=e^{w}}$。

在多维空间中

相对论性速度${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$与快度${\displaystyle \mathbf {w} }$为下列关系所联系^[6]

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}$

其中的向量${\displaystyle \mathbf {w} }$是劳仑兹群对应的李代数${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)}$中，由三个推进生成元（英语：Representation theory of the Lorentz group#Conventions and Lie algebra bases）${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$张成的三维线性子空间上的座标。而这可以完全类比至上述一维情况时的${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)}$。因为光速${\displaystyle c}$是速度量值的上限（选用单位使得${\displaystyle c=1}$），所以速度符合条件${\displaystyle |\beta |<1}$，因此速度空间可以用一个半径为${\displaystyle 1}$的开球${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$表示。

一般性的快度求和公式为^{[7][nb 1]}

${\displaystyle \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},}$

其中${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}}$对应到速度加成式，${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}$是${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$方向上的单位向量。这个运算不符合交换律与结合律。斜向角度为${\displaystyle \theta }$的快度${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}}$之和的模${\displaystyle w\equiv |\mathbf {w} |}$（欧氏空间中的长度）由馀弦的双曲关系（英语：hyperbolic law of cosines）给出^[8]

${\displaystyle \cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta }$

快度空间上的几何结构，透过对应的映射继承了速度空间上的双曲几何。相应地，这个几何结构可以从相对论性速度的求和公式来推得。^[9]因此，二维空间中的快度空间可以有效地透过庞加莱圆盘模型来想像^[7]，其上的测地线会对应到匀加速运动。三维空间中的快度空间，可以透过同样的方法，与双曲面模型建立保距同构（英语：Isometry (Riemannian geometry)）。闵考斯基时空的几何条目中有更多相关的细节。

两个快度的相加变换并非只是获得一个新的快度值，整体的变换是由上述求和式给出的快度、透过向量${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$来参数化的旋转，两者组合而成。

${\displaystyle \Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} }}$

这里使用到了物理学家惯用的指数映射。 这是交换法则所致的结果

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}}$

其中${\displaystyle J_{k}}$是旋转群的生成元，${\displaystyle (k=1,2,3)}$，这与汤玛斯进动现象有关。连结中的文章有关于参数${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$的计算方法。

在粒子物理中

一个非零（静止）质量m粒子的能量E以及动量的大小|p| 为：

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\gamma mv}$

透过快度w的定义

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}}$

并且

${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$

${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma }$

能量和动量大小可以被表示为

${\displaystyle E=mc^{2}\cosh w}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=mc\,\sinh w}$

所以快度可以用测量到的能量与动量大小透过下式来计算得出：

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}}$

然而实验粒子物理学家常使用修改过的、相对于粒子束的快度定义

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}}$

其中p_z是沿著粒子束方向的动量分量^[10]。这是从“实验室参考系”到一个“粒子运动方向与粒子束方向垂直的参考系”的劳伦兹变换所对应的快度，相关的概念可以参考条目赝快度。

参见

• Bondi k-calculus（英语：Bondi k-calculus）
• 劳伦兹变换
• 赝快度
• 固有速度
• 相对论