抛体运动

抛体运动是指将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动。^[1]该运动是曲线运动的一种，可以看成水平方向上的匀速直线运动和垂直方向上的自由落体运动的合成。伽利略是第一位正确指出抛体运动本质的物理学家。^[2]

抛体运动的轨迹是抛物线

研究历史

抛体运动有着长远的研究历史，其研究源头可追溯到古希腊。

亚里士多德

亚里士多德认为运动分为强迫运动和自然运动。在他的理论中，抛体需要外力推动，故属于强迫运动。抛体在向前运动时会在后方形成一块虚空，周围的气体会迅速的填补这块虚空，从而提供一个使抛体向前的力。抛体前面的空气阻碍运动，后面的空气推动运动，这保证了抛体运动即连续，又有限^[1]。

中世纪时期

公元6世纪，有学者质疑亚里士多德的理论。如果抛体和空气直接接触就可以产生并维持运动，那么只需要扰动抛体后方的空气就可让抛体动起来。这显然是不对的。这位学者以一个无形的力替代了空气，认为有一股力抛体在被抛出时注入了抛体，并且抛体离开抛射者手中后力仍然存在。^[1]

伽利略

伽利略是第一个正确指出抛体运动的本质的人，他在他的著作《关于两门新科学的对话》中写道：“设想任意一个质点沿水平面无摩擦地运动……如果这个平面是有限的，该质点就将穿过平面的边界，在它原先所做的匀速的、永恒的运动外，由于自身的重量而获得一个向下运动的倾向，产生的运动是一种水平匀速运动和另一种竖直加速运动的合成。”他同时用数学手段证明了抛体运动的轨迹是抛物线。^[1]

真空中的轨道

加速度

抛体运动的轨迹是曲线，因此速度矢量一直发生改变。根据牛顿第一定律，抛体受到的外力不为0。由于抛体在真空中运动，不受空气阻力，所以抛体只在竖直方向上受重力的影响。抛体的加速度为

${\displaystyle {\begin{cases}a_{x}=0\\a_{y}=-g\end{cases}}}$

其中${\displaystyle g}$为重力加速度，这里选择${\displaystyle -g}$是因为${\displaystyle y}$轴的正方向向上。

速度

抛体运动在不同方向上的速度分量

假设抛体的初速度为${\displaystyle v_{0}}$，速度与地面（${\displaystyle x}$轴）的夹角为${\displaystyle \theta }$，运动时间为${\displaystyle t}$。可以先分解初速度，得到它在${\displaystyle x}$轴和${\displaystyle y}$轴上的分量，然后对加速度进行积分，得到速度关于时间的关系^[2]。

${\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cos \theta \\v_{y}=v_{0}\sin \theta -gt\\\end{cases}}}$

位移

相同初速度下，不同抛射角对应的不同运动轨迹，这些点的间隔为0.05秒。它们的尾巴长度与速度成正比。${\displaystyle R}$为射程，${\displaystyle H}$为射高，${\displaystyle T}$为运动时间

对速度进行积分可以得到任意时刻抛体的水平和竖直方向位移^[2]： ${\displaystyle {\begin{cases}x=v_{0}t\cos \theta \\y=v_{0}t\sin \theta -{\dfrac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}}$

这是抛体运动的运动轨迹的参数方程。消去参数${\displaystyle t}$，可得到抛体运动的轨迹方程：

${\displaystyle y=x\tan \theta -{\dfrac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}}$

这是一个抛物线的方程（事实上，抛物线的名字来源于抛体运动）。当${\displaystyle \theta =0}$时，对应的运动称为平抛运动。

射程

射程是抛体落地时距离抛射点的距离。抛体落地时，其${\displaystyle y}$轴坐标为${\displaystyle 0}$，带入抛体运动的轨迹方程，可以解出抛体的射程^[3]：

${\displaystyle R={\dfrac {2v_{0}^{2}\sin \theta \cos \theta }{g}}={\dfrac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

可以发现当${\displaystyle \theta ={\dfrac {\pi }{4}}=45^{\circ }}$时，抛体的射程最大。${\displaystyle \sin \theta }$和${\displaystyle \cos \theta }$两个函数在${\displaystyle \theta ={\dfrac {\pi }{4}}}$两端时对称的，因此对于相同的初速度，当${\displaystyle \alpha +\beta ={\dfrac {\pi }{2}}}$时，${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$对应的抛体运动射程相同。

射高

射高是抛体在运动过程中达到的最高高度，对应${\displaystyle v_{y}=0}$，因此对应的时刻是

${\displaystyle t_{H}={\dfrac {v_{0}\sin \theta }{g}}}$

带入${\displaystyle y}$方向上的位移时间关系式，可以得到射高的表达式^[3]

${\displaystyle H={\dfrac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

参见

• 物理主题

• 平移运动
• 匀速运动
• 曲线运动