控制体积

控制体积是流体力学及热力学中，为一物理现象建立数学模型时会用到的一个名词。在惯性参考系中，控制体积可能是一固定的区域，或者是随著流体运动。控制体积的表面也称为控制表面^[1]。

稳态时，控制体积可以视为一个其中流体体积为定值的任意空间。流体可能会流进或流出控制体积，但流入控制体积的流体质量等于流出控制体积的流体质量。在稳态且没有功或能量的交换，控制体积内的能量也是一个定值。控制体积的概念类似古典力学的自由体图。

简介

一般来说，若要了解科学定律在特定系统下的作用，可以先应用在小的控制体积内。控制体积本身没有特别之处，只是系统的一小部份，让物理定律可以应用的范围。这就产生了体积相关的数学公式。

科学规律在控制空间内依一定的方式运作，因为控制空间没有特别之处，因此可以假设科学规律在系统的其他空间也会以相同方式运作。可以发展数学模型对应单点公式，描述科学规律在整个系统内的行为

在连续介质力学中，守恒定律（例如纳维-斯托克斯方程）是以积分形式出现，因此可以适用在所有的体积里。寻找独立于控制空间的方程式，有助于简化积分的符号。控制空间可以是静止的，也可以依特定速度移动^[2]。

物质导数

主条目：物质导数

连续介质力学的运算中，常需要将时间导数运算子 ${\displaystyle d/dt\;}$ 改为物质导数运算子 ${\displaystyle D/Dt}$. 可以用下例来说明。

假设有小虫和控制体积一起移动，其中有随时间和位置而变化的纯量场（例如压力）： ${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$.

若小虫在 ${\displaystyle t\;}$ 到 ${\displaystyle t+dt\;}$ 的时间区间内，从位置 ${\displaystyle (x,y,z)\;}$ 移动到位置 ${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$ ，则小虫感受到的压力变化为

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

（全微分）。若小虫移动的速度如下 ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$ 位置的变化可以表示为 ${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$ 因此压力变化可以表示如下

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}$

其中${\displaystyle \nabla p}$是向量场p的gradient。因此

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

若小虫是和流场一起移动，上述的公式仍适用，不过速度向量v会改为流速向量u。

在压力变化的公式中，最后一个括弧内的公式即为压力纯量的物质导数。

因为压力p是任意的纯量场，因此物质导数运算子可以如下式表示： ${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

相关条目

• 纳维－斯托克斯方程
• 狭义相对论
• 流体力学